Проблемы недостаточной выборки: золото и инфляция в Великобритании

в Главе 9 мы видели потенциальную проблему избыточной выборки -эффекты искажения данных испытаний на слишком высокой частоте. Среди статистических проблем (сериальная корреляция, например) таится еше одна опасность: чрезмерная уверенность аналитика из-за большого объема выборки. В этой главе рассматривается обратная проблема, недостаточная выборка. Вследствие недостаточной выборки аналитик может принять фрактальный временной ряд за случайный просто потому, что нет достаточного количества наблюдений, чтобы принять уверенное решение.

Существует два типа недостаточной выборки, и каждый из них имеет свои собственные последствия. В той недостаточной выборке, которую мы назовем недостаточной выборкой первого типа, мы получаем показатель Херста, который отличается от случайного блуждания, но мы не можем быть уверены, что результат является значимым, потому что у нас слишком мало наблюдений. Недостаточная выборка второго типа представляет собой маскировку персистентности и длины цикла, потому что в цикле слишком мало точек. Процесс переходит в случайное блуждание для небольшого значения п, потому что п охватьшает такой длинный отрезок времени.

Каждая из этих ошибок недостаточной выборки будет исследована в свою очередь с использованием данных индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний из Главы 8. Значимая персистентность данных индекса Доу-Джонса, в полной форме, уже была показана при длине цикла в приблизительно 1 ООО операционных дней. Позже мы рассмотрим два исследования, которые являются интригующими, но неубедительными из-за недостаточной выборки.

НЕДОСТАТОЧНАЯ ВЫБОРКА ПЕРВОГО ТИПА: СЛИШКОМ МАЛО ВРЕМЕНИ

В Главе 8 мы видели, что показатель Херста для устойчивого, персистентного процесса не сильно изменяется при проверке во времени. Мы рассмотрели три не перекрьшающихся Зб-летних периода и нашли, что их показатель Херста мало изменился. Если процесс Херста действительно имеет место, ожидаемое значение показателя Херста, на основании уравнения (5.6), при увеличении объема выборки также изменяется незначительно. Что действительно изменяется, так это дисперсия Е(Н). Дисперсия уменьшается по мере увеличения общего количества наблюдений Т. В Главе 9 мы видели, как низкое значение Н могло быть статистически значимым при

наличии достаточного количества точек данных.

Аналитик, однако, стоит перед дилеммой. Если сохранен тот же самый период времени, но выборка производится более часто, то существует возможность избыточной выборки данных, как мы видели в Главе 9. Если частота становится слишком высокой, то шум и сериальная корреляция могут скрыть сигнал. В отношении рьшочных данных предпочтительно, чтобы выборка производилась ежедневно или через более долгие промежутки времени, чтобы избежать проблемы избьпочной выборки. К сожалению, единственной альтернативой высокочастотных данных является более длинный период времени. Не всегда существует возможность получить больше времени, но такой способ является предпочтительным.

Например, возьмем 20 лет пятидневных прибылей согласно индексу Доу-Джонса. Это составляет приблизительно 1 040 точек. Для инвестиционных финансов это кажется адекватной выборкой. Исследуемый период начинается в январе 1970 г. и заканчивается в декабре 1989 г. Результаты R/S-анализа приведены на рисунке 11.1 ив таблице 11.1.

Показатель Херста за 20-летний период подобен показателю, полученному в Главе 8 для 108 лет: Н = 0,63. Е(Н) все еще равняется 0,58 и длина цикла все еще появляется на уровне приблизительно 200 недель. Однако дисперсия Е(Н) теперь составляет 1/1040 для стандартного отклонения 0,031. Несмотря на тот факт, что практически все значения являются такими же, как и значения в Главе 8, оценка показателя Херста теперь отличается от его ожидаемого значения только на 1,4 стандартных отклонения. К сожалению, это значение недостаточно вьюокое, чтобы мы могли отклонить нулевую гипотезу. Система все еще может быть случайным блужданием.

Сколько нам нужно точек? Если мы увеличиваем период времени, а не частоту, мы с легкостью можем оценить требования к данным. Если показатель Херста устойчив, то разность между Е(Н) и Н также будет устойчива. В данном случае разность составляет 0,04. Поэтому мы должны знать значение Т (общее число наблюдений), которое сделает 0,04 значением двух стандартных отклонений, или:

(Н-Е(Н))/(1/7(Г)) = 2 (11.1)

что упрощается следующим образом:

Т = 4/(Н-Е(Н))2 (11.2)

В этом примере Т = 2 500 недель, или приблизительно 48 лет пятидневных данных. Для достижения 99-процентного доверительного интервала числитель в правой части уравнения (11.2) должен быть заменен на 9. Нам понадобилось бы 5 625 недель, чтобы достичь значимости на 1-процентном доверительном уровне, если бы Н для нового интервала оставался равным 0,62. Нет никакой гарантии, что это случится. Н удивительно стабилен во многих, но не во всех случаях.

>

0.5 1 1.5 2 2.5

Log(Number of Observations)

РИСУНОК 11.1 V-статистика, индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, пятидневные прибыли: январь 1989 г. - декабрь 1970 г.

Таблица 11.1 Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, пятидневные

прибыли, январь 1970 г. - декабрь 1989 г.

Такое изменение числителя является разумным, если мы сохраняем ту же частоту выборки, но увеличиваем период времени. Если мы увеличиваем частоту выборки в пределах того же временного интервала, этот подход ненадежен. Например, в Главе 8 мы видели, что увеличение частоты с 20-дневных до пятидневных, а затем до однодневных прибылей изменило значение Н с 0,72 до 0,62 и 0,59 соответственно. Увеличение частоты выборки обычно сопровождается увеличением шума и уменьшением показателя Херста. В данном случае, достаточность данных будет увеличиваться с постоянно увеличивающейся скоростью, по мере увеличения выборочной частоты.