Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Поскольку процесс Херста, в его чистой форме, также характеризуется бесконечной памятью, кажется разумным приравнять два процесса. Мандельброт и Уоллис (Mandelbrot and Wallis, 1%9а-1969с) как раз это и сделали, но научное и математическое сообщество большей частью не знало о R/S-анализе и его отношении к l/f-шуму. Известное исключение - Шрёдер (Schroeder, 1991). Однако l/f-шум широко исследовался и теоретически, и опытным путем. Согласовывая процесс бесконечной памяти Херста и l/f-шум, мы делаем доступным широкий набор инструментов для рыночного анализа. В этой главе мы начнем этот процесс, но это только начало. Я ожидаю, что исследование процессов дробных шумов и рынков будет одной из самых плодотворных областей для создания полезной технологии. Кроме того, существует семейство моделей ARFIMA, обобщенная версия моделей ARIMA, которые обсуждались в Главе 5. Когда мы делаем интервалы дифференцирования дробными, могут быть вызваны многие характеристики процесса долговременной памяти Херста и смешаны с краткосрочными процессами AR или МА. Глава заканчивается исследованием этой интересной и полезной области.

ЦВЕТ ШУМА

Когда большинство людей думает о шуме, они думают о белом или случайном шуме. Этот тип шума - шипение, которое слышно на чистых магнитофонных лентах. Поскольку оно не имеет свойственного масштаба, шипение кажется одинаковым, независимо от скорости ленты. Его подынтефальное выражение называют коричневым шумом, или броуновским движением. Коричневый шум - это просто текущая сумма белого шума. Он звучит так, как будто там что-то есть, но в действительности в коричневом шуме нет никакой информации.

Эти шумы могут характеризоваться спектральными функциями, которые следуют простым обратным степенным законам. Спектральные функции рассчитываются через преобразование Фурье, выведенное в начале 1800-х гг. Жаном Батистом Фурье и часто называемое спектральным анализом. Преобразование Фурье переводит времеьшой ряд в функцию, определенную его частотами. Оно предполагает, что любой временной ряд может быть представлен суммой синусоидальных (или косинусоидальных) волн различных частот и бесконечной продолжительности. Коэффициенты функции Фурье определяют спектр тем же самым образом, согласно которому свет имеет спектр, на многих частотах, или приращениях времени. На частотах, которые имеют острые пики, в первоначальном временном ряду есть периодический компонент. Таким образом, спектральный анализ предполагает, что (1) исследуемый временной ряд является периодическим по природе и (2) циклы периодичны по природе.

Однако когда присутствует дробный шум, спектральные функции лишены характерных черт и изменяют масштаб согласно обратным степенным законам. Такие обратные степенные законы являются функцией частоты f и следуют форме f* . Спектральные функции следуют обратному степенному закону вследствие самоподобного характера изучаемой системы. Частоты изменяют масштаб, как и все фракталы, согласно степенным законам. Коэффициент масштабирования, или



спектральный показатель Ь, может варьироваться от О до 4. Для белого шума b = 0; то есть спектральная функция белого шума не связана с частотой. Белый шум остается одинаковым на всех частотах, вот почему шипение на магнитофонной ленте кажется одинаковым на всех скоростях (или частотах). Схожим является и вычисление фрактальной размерности белого шума в фазовом пространстве. Белый шум заполняет размерность вложения (которая, в данном случае, является частотой), в которую он помещен. Нет никакого закона масштабирования. Когда белый шум интегрирован, тогда b = 2, спектральные функции для коричневого шума. Таким образом, коричневый шум имеет форму Как и в большинстве вероятностных процессов, коэффициент масштабирования является квадратом.

Есть и другие значения для Ь. Если О < b < 2, мы имеем розовый шум. О розовом шуме часто говорят как о l/f-шуме, но это в некоторой степени неправильно. Розовый шум кажется широко распространенным в природе, и он стал использоваться в моделировании турбулентности, особенно когда b принимает дробные значсЕшя между 1 и 2. За коричневым шумом есть черный шум, где b > 2. Черный шум используется для моделирования персистентных систем, которые, как известно, имеют резкие крахи. Таким образом, теперь у нас есть взаимосвязь между дробными шумами и процессом Херста:

Ь = 2*Н + 1 (13.1)

где b = спектральный показатель Н = показатель Херста

Черный шум связан с эффектами долговременной памяти (Н>0,50, 2,00<Ь<4,00); розовый шум связан с антиперсистентностью (Н<0,50, 1>Ь>2). Это соотношение между спектральными функциями и показателем Херста были постулировано Мандельбротом и Ван Нессом (Mandelbrot and Van Ness, 1968), которые также предположили, что производная дробного броуновского движения имеет спектральный показатель 1 - 2*Н.

Хотя эти отношения, постулированные Мандельбротом и Ван Нессом (Mandelbrot and Van Ness, 1968), были в значительной степени приняты, строго определены они были Фландрином (Flandrin, 1989).

РОЗОВЫЙ ШУМ: О < Н < 00

Долгое время существовало мнение, что О < Н < 0,50 - менее интересный случай , по словам Мандельброта (Mandelbrot, 1982). Однако это не так. Как видно из уравнения (13.1) и результатов Главы 10, антиперсистентность может быть очень важна. Отношения между волатильностью и турбулентным потоком помогут нашему пониманию рьшков. Это также уменьшит число неправильных представлений об отношениях между физическими системами и рынками.

Шмит, Лаваль, Шерцер и Лавджой (Schmitt, Lavallee, Schertzer, and Lovejoy, 1992), a таюке Кида (Kida, 1991) в своих публикациях указали на связь между фрактальными распределениями (то есть, распределениями Леви) и турбулентным



потоком. Уравнение (13.1) показывает связь между турбулентным потоком и показателем Херста. Антиперсистентные значения Н соответствуют розовому шуму. Таким образом, понимание розового шума увеличивает наше понимание структуры антиперсистентности и волатильности.

Процессы релаксации

l/f-шум тесно связан с процессами релаксации. Фактически, l/f-шум бьш постулирован Мандельбротом (Mandelbrot, 1982) как сумма большого количества параллельных процессов релаксации, происходящих на многих различных частотах. Эти частоты являются логарифмически равноотстоящими, что объясняет поведение обратного степенного закона. Мы видели подобную структуру в функции Вейерштрасса в Главе 6. Функция Вейерштрасса была суммой бесконечного числа синусоид, встречающихся на бесконечном числе частот.

Процесс penaKcaifuii - форма динамического равновесия. Представьте два уравновешенных вида, находящихся в пределах закрытой окружающей среды. Появляется внешняя сила, которая благоприятна только для одного вида: количество особей одного вида начнет расти, по мере того как количество особей другого вида будет уменьшаться, пока не будет достигнуто новое равновесие. То время, которое необходимо для достижения нового равновесия, является корреляцией системы или временем релаксации.

Гарднер (Gardner, 1978) описал простой метод, предложенный Ричардом Воссом, для моделирования 1/f-шума. Подобно вероятностной колоде карт Херста, он предлагает метод понимания того, как параллельные процессы релаксации могут происходить в природе и на рынках.

Метод Восса использует три ифальных кости. Бросается первая кость, и для каждого наблюдения записьшается число. Вторая кость бросается каждый второй раз, и число на второй кости добавляется к числу на первой кости. Третья кость бросается каждый четвертый раз, и ее значение добавляется к двум другим. Этот метод моделирует l/f-шум на небольшом диапазоне частот. Первая кость имеет частоту один, вторая - частоту два, а третья - частоту четыре. Складьшая три броска, через различные равноотстоящие интервалы, мы имитируем многократные времена релаксации через различные интервалы, которые являются равноотстоящими в пространстве log:.

На рьшках двумя видами могут быть два тренда, один из которых основан на настроении, а другой - на значении. Некоторая информация, например, об уровне долгосрочных процентных ставок, не может принести пользу отдельной компании, если она имеет небольшой долгосрочный долг или вообщ( имеет такового. Но если это приносит пользу рьшку в целом, улучшенное настрое! может подтолкнуть курс акций к новой справедливой цене . Такая новая справедливая цена является комбинацией перспектив компании (которые связаны с фундаментальной информацией, информацией бухгалтерского баланса) и относительного положения процентных ставок по отношению к фондовой бирже в целом. Время, которое требуется для полной оценки фондовой биржей изменения в процентных ставках,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92