Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

1. Бесконечная дисперсия: вторые моменты не существуют. Дисперсия ненадежна как мера рассеяния или риска.

2. Скачки: большие изменения цен могут быть большими и прерывистыми.

Эти характеристики нежелательны только с математической точки зрения. Как согласится любой инвестиционный практик, эти математические проблемы типичны для фактического поведения рьшков. Представляется более разумным скорректировать наши модели таким образом, чтобы они могли объяснять этот фрагмент действительности, а не наоборот. Платон, возможно, говорил, что это - не реальный мир, но когда он так гоюрил, он не инвестировал свои деньги.

Следующая глава будет иметь дело с двумя областями, в которых мы должны, по крайней мере, сделать поправку на стандартную теорию: выбор портфеля и ценообразование опционов.



Применение фрактальной статистики

в предыдущей главе мы видели возможную замену нормального распределения как вероятностной функции для описания рыночных прибылей. Эта замена называлась, поочередно, устойчивыми распределениями Леви, устойчивылш распределениями Парето или распределениями Парето-Леви. Теперь мы можем добавить фракталы1ые распредепения - название, которое лучше их описывает. Поскольку традиционные названия даны в честь математиков, которые их создали, мы будем использовать все эти названия попеременно.

Мы видели, что эти распределения имеют исключительное свойство, которое затрудняет их ассимилирование в стандартную теорию рынка капитала (СМТ). Эти распределения имеют бесконечную или неопределенную дисперсию. Поскольку СМТ зависит от дисперсии как меры риска, это, казалось бы, наносило главный удар но полноценности современной теории портфеля (МРТ) и ее производных. Однако в начале существования МРТ не было столь высокого единодушия в отношении того, что рыночные прибыли были нормально распределенными. В результате многие из самых светлых умов того времени развили методы адаптирования СМТ к устойчивым распределениям Леви. Фамэ (Fama, 1965b) и Самуэльсон (Samuelson, 1967) независимо разработали способ обобщения метода оптимизации среднего/дисперсии Марковица (Markowitz, 1952). Этот способ был далее описан в работах Фамэ и Миллера (Fama and Miller, 1972), а таюке Шарпа (Shaipe, 1970), но в то время научным сообществом было решено, чго доказательств для того, чтобы отвергнуть гипотезу Гаусса (случайное блуждание) и заменить ее >стойчивой гипотезой Парето, было недостаточно. По крайней мере, было недостаточно доказательств для тех трудностей, которые устойчивые распределения Парсто причиняли с математической точки зрения.

Мы видели в данной книге важные подтверждения (1)рактальных распределений, лак что кажется уместным вспомнить о более ранней работе Фамэ и Самуэльсона в надежде, что другие исследователи в дальнейшем разовьют ее идеи. В этой главе мы как раз это и сделаем. Кроме того, мы рассмотрим работу MaккaлJюкa (McCulloch, 1985), который вывел атьтернативу формуле опционного ценообразования Блэка-Шоулса, используя устойчивые распределения Леви. Учитывая широко распространенное использование формул1л Блэка-Шоулса, представляется уместным исследовать ее более общую форму.

Приведенная ниже работа имеет свои недостатки. Например, адаптации Фамэ и Самуэльсона предгюлагают, что все ценные бума1и имеют один и тот же характеристический показатель а. Гипотеза Гаусса предполагала, что все акции HMCjm а = 2,0, и при таком предположении универсальное значение в 1,7 не казшюсь большим изменением. Несмотря на это офаничение, работа стоит повторного



изучения, и, принося извинения первоначальным авторам, я сделаю это в данной главе.

ВЫБОР ПОРТФЕЛЯ

Марковиц (Markowitz, 1952) совершил большой прорыв в СМТ. Он показал, как проблема выбора портфеля могла быть проанализирована через оптимизацию среднего-дисперсии. За это он получил Нобелевскую премию по экономике. Марковиц переформулировал проблему в предпочтение риска против доходности. Доходность была ожидаемой доходностью акций, но она была менее спорной частью теории. Для портфеля ожидаемая доходность представляет собой просто взвешенное среднее ожидаемых доходов по отдельным акциям в портфеле. Риск по отдельным акциям бьш стандартным отклонением доходности акций, или а. Однако риск поргфеля бьш больше, чем просто суммированный риск по отдельным акциям. Необходимо принять во внимание ковариацию портфеля:

а\и> = ст] +al+2 * р * а * а, (15.1)

где ра.ь = корреляция между акциями а и b

Для вычисления риска портфеля стало важным знать, что две акции могут быть скоррелированы. Если имеет место положительная корреляция, то суммированный риск двух акций будет больше, чем риск двух акций по отдельности. Однако если имеет место отрицательная корреляция, то суммированный риск этих двух акций будет меньше, чем риск по любой из акций в отдельности. Они будут диверсифицировать друг друга. Уравнение (15.1) вычисляет риск двух акций, а и Ь, но оно может быть обобщено для любого числа акций. В первоначальной формулировке, которая широко используется, ожидаемый доход и риск рассчитьшаются для каждой комбинации всех акций в портфеле. Портфель с самым высоким ожидаемым доходом ддя данного уровня риска назывался эффективным портфелем. Совокупность всех эффективных портфелей называлась эффективной границей. Оптимизация средней доходности против дисперсии привела к появлению термина эффективность среднего/дисперсии, или оптимизация. Таким образом, Марковиц измерил, как портфели могут быть рационально построены и как диверсификация уменьшает риск. Это бьшо удивительным достижением.

Тем не менее, используя фрактальные распределения, мы имеем две проблемы: (1) дисперсию и (2) коэффициент корреляции. Очевидная проблема связана с дисперсией. В среде среднего/дисперсии дисперсия является мерой риска акции и портфеля. Фрактальные распределения не имеют дисперсии для оптимизации. Однако есть член рассеяния с, который также может использоваться для измерения риска. Более трудная проблема связана с коэффициентом корреляции р. В устойчивом семействе нет сопоставимого понятия, за исключением частного случая нормального распределегшя. На первый взгляд, отсутствие коэффициента корреляции было бы ударом по применимости фрактальных распределений к рынкам. Коэффициенты корреляции используются часто, особенно для формулировки стратегий



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92