Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Анализ финансовых западных рынков 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

Таблица 15.1 Эффекты диверсификации: нерыночный риск

Alpha (а)

2,00

1,75

1,50

1,25

1,00

0.50

0,1000

0,1778

0,3162

0.5623

1,0000

3,1623

0,0500

0,1057

0,2236

0,4729

1,0000

4,4721

0,0333

0,0780

0,1826

0,4273

1,0000

5,4772

0,0250

0,0629

0,1581

0,3976

1,0000

6,3246

0,0200

0,0532

0,1414

0,3761

1.0000

7,0711

0,0167

0,0464

0,1291

0,3593

1,0000

7.7460

0,0143

0,0413

0,1195

0,3457

1,0000

8,3666

0,0125

0,0374

0,1118

0,3344

1,0000

8.9443

0,0111

0,0342

0,1054

03247

1.0000

9,4868

0,0100

0.0316

0.1000

0,3162

1,0000

10,0000

0,0091

0,0294

0,0953

0,3088

1,0000

10.4881

0,0083

0.0276

0,0913

0,3021

1,0000

10,9545

0,0077

0,0260

0,0877

0,2%2

1,0000

11.4018

0,0071

0,0246

0,0845

0,2907

1,0000

11,8322

0,0067

0,0233

0,0816

ОД857

1,0000

12,2474

0,0063

0,0222

0,0791

0,2812

1,0000

12.6491

0,0059

0,0212

0,0767

0,2769

1,0000

13.0384

0,0056

0,0203

0,0745

0,2730

1,0000

13.4164

0,0053

0,0195

0,0725

0Д693

1,0000

13,7840

0,0050

0,0188

0,0707

0,2659

1,0000

14.1421

0,0040

0,0159

0,0632

0.2515

1.0000

15,8114

0,0033

0,0139

0,0577

0,2403

1,0000

17.3205

0,0029

0,0124

0.0535

0.2312

1.0000

18,7083

0,0025

0,0112

0,0500

0,2236

1,0000

20,0000

0,0022

0,0102

0.0471

0,2171

1,0000

21.2132

0.0020

0,0095

0,0447

0,2115

1,0000

22,3607

0,0018

0,0088

0,0426

0,2065

1,0000

23,4521

0,0017

0.0082

0.0408

0,2021

1,0000

24,4949

0,0015

0,0078

0,0392

0,1980

1,0000

25,4951

0,0014

0,0073

0,0378

0,1944

1,0000

26.4575

0,0013

0,0070

0,0365

0,1911

1,0000

27,3861

0,0013

0,0066

0,0354

0,1880

1,0000

28,2843

0,0012

0,0064

0,0343

0,1852

1,0000

29,1548

0,0011

0,0061

0,0333

0,1826

1,0000

30,0000

0,0011

0,0058

0,0324

0,1801

1,0000

30,8221

1.000

0,0010

0,0056

0,0316

0,1778

1,0000

31,6228

Вторая проблема заключается в значении самого а. Адаптация предполагает, что все ценные бумаги в портфеле имеют одинаковое значение а. Это необходимо, потому что сумма устойчивых переменных Парето с одинаковым характеристическим показателем а приведет к новому распределению, которое все



еще имеет тот же самый характеристический показатель а Это - свойство авдитивности, которое обсуждалось в Главе 14. Однако я показал, что различные акции могут иметь различные показатели Херста и, следовательно, различные значения а. (См. Peters (1991а, 1992)). К сожалению, теории для сложения распределений с различными значениями а не существует.

Кажется разумным, что теперь этот процесс должен бьпъ пересмотрен и что необходимо выполнение дальнейшей работы для обобщения подхода и минимизации воздействия этих все еще неприятных проблем.

ОЦЕНКА ОПЦИОНА

В Главе 10, мы обсуждали формулу Блэка-Шоулса (Black, Scholes, 1973). Важно помнить, что основная формула предназначена для европейских опционов -опционов, которые могут быть исполнены только по наступлении срока. Мы обсуждали использование уравнения (10.1) для изучения волатильности, но его первоначальная цель состояла в вычислении справедливой цены опциона. Кажется, что формула работает достаточно хорошо, когда опцион имеет нулевую внутреннюю стоимость, или близкую к нулю, но большинство опционных трейдеров находит, что формула ненадежна, когда опционы находятся глубоко без-денег (out-of-the-money). Опционы всегда будут иметь стоимость, даже когда формула Блэка-Шоулса говорит, что они фактически должны стоить ноль. Существует много объяснений этого систематического отступления от формулы. Самое разумное - толщина отрицательного хвоста в наблюдаемом частотном распределении прибылей по акциям. Рьшок знает, что вероятность большого события больше, чем говорит нам нормальное распределение, и оценивает опцион соответственно.

Еще одна проблема заключается в прерьшности самого ценообразования. Нормальное распределение является непрерывным. Если прибыли по акциям регулируются нормальным распределением, то, когда курс акций перемещается с 50 до 45, предполагается, что он проходит через все промежуточные цены, чтобы дойти до этой ценьг Однако опыт показывает, что все курсы ценных бумаг подвержены разрывам. Акции часто перескакивают через промежуточные цены при чрезвычайных движениях, также как валюта или облигации. Мертон (Merton, 1976) предложил класс пуассоновских скачкообразных процессов для больших движений на фоне гауссовых изменений для небольших движений. Этот процесс безгранично делим, также как и устойчивые распределения. Однако Маккаллок (McCulloch, 1985) указал, что устойчивый процесс тем не менее, является предпочтительным в соответствии с критерием принципа Оккама, так как он обеспечивает и большие скачки, и непрерывное движение. В то же время, он более расчетлив с параметрами, чем спецификация Мертона. Устойчивый процесс фактически влечет за собой бесконечное число пуассоновских скачкообразных процессов, относительные частоты которых определяются характеристическим показателем а.

Есть и еще одна оговорка. Вычисление стоимости опционов для устойчивых распределений является весьма сложным и требует обширных таблиц, размеры которых не соответствуют данной книге. (Они есть в работе Маккалока).



Приводимый здесь пересказ работы Маккаллока призван дать некоторую основную информацию читателям, заинтересованным в вьиислении справедливой стоимости с использованием устойчивых распределений. Учитывая, что статистаческое распределение при условной волатильности может бьпъ определено распределениями GARCH, вероятно, существуют более простые методы. Я заранее предупреждаю читателей, что приводимое здесь обсуждение не будет полным, и, возможно, они пожелают продолжить его изучение и исследование в дальнейшем. Те, кого не интересуют приводимые здесь подробности, могут их пропустить и перейти к Главе 16.

Подход Маккаллока

Маккаллок (McCulloch, 1985) сформулировал формулу опционного ценообразования, которая объясняла бы устойчивые распределения. Он сделал это, используя особое свойство устойчивых распределений. Вспомните, что переменная асимметрии р может варьироваться от -1 до +1. Когда она равна О, распределение симметрично. Вся работа Фамэ и Ролла бьша выполнена, основьшаясь на предположении о симметричном случае. Тем не менее, когда Р = +1(-1), нижний (верхний) хвост теряет свою характеристику Парето и уменьшается быстрее нормального распределения. Противоположный хвост становится еще длиннее и толще, так что распределение напоминает логарифмически нормальное распределение - унимодальное (одновершинное) с длинным положительным (отрицательным) хвостом и коротким, конечным отрицательным (положительным) хвостом. Золотарев (Zolotarev, 1983) показал, что, когда устойчивая случайная переменная х имеет параметры (а, -1, с, 5), характеристическая функция для а Ф 1 представляет собой следующее:

log(E(e)) = 5*(-c) *sec

(15.7)

Маккаллок использовал это уравнение, чтобы вывести формулу для оценки европейских опционов с логарифмически устойчивой неопределенностью . В данном разделе кратко излагается работа Маккаллока. Она соответствует фрактальной гипотезе рынка и показывает практическое применение фракгальной статистики. Эта работа является большой заслугой Маккаллока, поскольку она бьша написана до того, как появились общепринятые доказательства, что рынки описьшались фрактальными распределениями.

Спот и форвардные цены

Мы начинаем с определения спот и форвардных цен в терминах устойчивых распределений. Производная ценная бумага Аг будет стоить X в будущее время Т в терминах спотовой ценной бумаги (spot security) А/. U и Ui представляют предельную полезность, или значение Ai и Аг, соответственно, для инвестора. Если и log(U), и log (U2) являются устойчивыми с общим характеристическим показателем, то:

log(X) = log(U2/U,) (15.8)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92