в этом выражении гТУ* определяет доход от начального капитала, -ZjtVj есть потери дохода из-за вложения капитала в фирму j, наконец ZjXj{s) есть выплаты фирмы j инвестору к.

Ожидаемая полезность конечного капитала, заданного формулой (2.1), в случае квадратичной функции равна

J2)[F(s)-cF\s)\ (2.2)

и, если нет ограничений на короткую позицию, необходимое и достаточное условие для максимизации ожидаемой полезности но неременным Zj записывается

E[{l~2cF{s)){xj(s)-rVj)] = 0, (2.3)

где Е обозначает математическое ожидание выражения в квадратных скобках.

Можно вывести следующие соотношения:

E[F\s)] = rW + J2jifJ-Vj), (2.4)

E[F\s)xj(s)] = rtfV; + E[xj{s)iY:zf{xi - rV;))], (2.5)

E[xiis)xj(s)] = aij + Hifij. (2.6)

Раскрывая (2.3) и используя (2.4)-(2.6), можно записать условия первого порядка по отношению к в следующем виде:

Y:z[aij + (,ii-rVi){pj-rVj)] = (pj-rVj)il/2c-rW). (2.7)

~ Отметим, что характеристики инвесторов входят в правую часть множителем. Поэтому можно решить соответствующую систему относительно вспомогательных переменных Zj,

умпожив которые затем на (1/2с* - rlF*), мы получим искомые переменные Zj. Теорема об инвестировании в два фонда, в сущности, основана на возможности представить уравнение в такой форме. Окончательно, пусть Zj - рещение следующей системы:

Х: z:iaij + ijii - rV;)(Mi - rV;-)) = (/i; - rVi). (2.8)

Тогда определяется уравнением

= 2;(l/2c*-HF*). (2.9)

В равновесии должно выполняться условие = 1, т. е.

сумма долей любой из фирм по всем инвесторам должна равняться единице. Отсюда мы имеем

Е; = 1 = ;(Е(1/2с*) - vYW) (2.10)

к к к

и, тем самым,

z; = i/(x:i/2c*-rx:in- (2.11)

Из (2.10) и (2.11) следует

z] = (1/2с* - rW)l{Y,{U2c) - г 5: IF). (2.12)

Из (2.12) видно, что не зависит от j, так что доля любой фирмы для инвестора к определяется только характеристиками инвестора. Эту долю обозначим через z*.

Используя данный результат, становится относительно легко определить Vj - рыночную стоимость фирмы j. Уравнение спроса (2.7) можно теперь переписать в виде

ЕК+(м.-гК)(/.-г1)] = {Pi-TVj){lj2c-rW). (2.13)

Поскольку I3it -2* = 1) мы имеем

EN + (М.- - rVi)ipj - rVj)] = t

= ifj-rVj){{l/2c)-rY:W). (2.14)

Наконец, используем тот факт, что 52,- К = Ylki т. е. суммарная рыночная стоимость всех активов равна суммарному капиталу в экономике. Подставляя в (2.14), получаем

Х:.;- + - rV,)(EM.- - El/2c*) = 0. (2.15)

t I к

Раскрывая, получаем

vj = {iMiiij - Ео/сЕ i/2c* - Е.)]- (2.16)

i к i

Уравнение (2.16) определяет рыночную стоимость фирмы в целом. Уравнение утверждает, что стоимость фирмы j равна текущей стоимости (но проценту безрискового актива) скорректированных с учетом риска ожидаемых платежей. Поправка на риск зависит от среднего отношения инвесторов к риску и от ковариации платежей данной фирмы со всеми другими фирмами в экономике (систематический риск).

2.11 Следствие для проблемы структуры капитала

Уравнение (2.16) определяет рыночную стоимость фирмы в целом; значимыми параметрами являются рисковые потоки платежей, задаваемые через Xj{s) в каждом состоянии. Из этого следует, что способы инвестирования в фирму не имеют значения. Таким образом, пока величина Xj(s) не зависит от того,