известно одно, всегда можно вычислить другое. Обычно предполагается, что кривая доходности имеет наклон вверх. Это значит, что доходность к погашению возрастает с ростом времени погашения. Если обозначает доходность <-периодной бескупон1юй облигации, то г, > Гг для t > г. Фактически отмечались весьма разнообразные формы кривой доходности. Имеется несколько теорий, пытающихся объяснить временную структуру процентных ставок, в том числе базирующихся на концепциях ожиданий и предпочтения ликвидности.

Если известна временная структура процентных ставок, то несложно определить цену других долговых контрактов, таких как купонная облигация. Вообще, если мы знаем процентную ставку, но которой следует дисконтировать будущие платежи, мы можем вычислить цену любой последовательности платежей, развернутой во времени(потока платежей - cash flow). Наоборот, если известна цена облигации, то можно определить ее доходность к погашению. Например, рассмотрим долговой контракт, по которому Ct выплачивается каждый период в течение Т периодов. Если Р - текущая рыночная стоимость этого контракта, то внутренняя доходность контракта равна процентной ставке г, удовлетворяющей равенству:

(1 + г) + (1 + г)+---+(1 + г)т- -

Пример

Рассмотрим бескупонную облигацию со сроком погашения 12 месяцев от данного момента и номинальной стоимостью $1000. Безрисковая процентная ставка на рынке на 12 месяцев равна 12%. Чему равна стоимость облигации?

Из уравнения (1.1) получаем, что стоимость бескупошюй облигации равна

Если процентная ставка упадет до 10%, то стоимость облигации возрастет до $909.091.

Пример

Рассмотрим купонную облигацию с номинальной стоимостью $1000, ставкой 7% годовых, выплачиваемых ежемесячно, и сроком погашения 12 месяцев. В этом случае владелец облигации получает $5.83 каждый месяц и $1000 в конце года. Если текущая безрисковая процентная ставка - 1% в месяц, то стоимость облигации равна $953.1. Это можно проверить при помощи равенства (1.2), где Ci = Сг = ... = Сц = $5.83, а Ci2 = $1005.83. Если текущая процентная ставка упадет до 5 - 6% в месяц, то стоимость облигации возрастет до $971.56.

Ординарной рентой называется поток платежей на Т периодов, при котором в каждый период выплачивается одна и та же сумма, т. е. С = Ci = ... = С(. Типичным примером ординарной ренты является закладная с фиксированной ставкой. В этом случае мы можем преобразовать формулу (1.2) следующим образом:

С С П

1 + г {1 + гу{1 + гУ

С С с с с

l + r {l+rf(1 + r) (1 + r)+l (1 + r)+2

(1 + r)+l (1 + r)+2

с с С

+ ...=

г (1-Ьг)+1 (l-fr)+2 20

(l + r) + (l + r)2 + ---.

£ 1

~ r (1 + r)

с 1С ~ r {1 + rf r

и получить формулу

Эту формулу, называемую формулой ренты, как и раньше, можно применять двумя способами. Если известна процентная ставка, то с се помощью можно вычислить цену (или текущую стоимость - present value) будущих платежей. Если же известна цена и будущий поток платежей, то по этой формуле можно вычислить процентную ставку, которая в этом случае называется доходностью.

При рассмотрении временной структуры становится ясно, что существует много различных процентных ставок. Чтобы не запутаться в них, будем использовать следующие обозначения. Символом ,Гу будем обозначать доходность к погашению в периоде t бескупонной облигации со сроком погашения в периоде Т. Текущим периодом всегда будет нулевой период. Таким образом оГт будет обозначать сегодняшнюю доходность к погашению бескупонной облигации со сроком погашения в периоде Т. Если 0Г1 и ог известны, то определим 1Г2 как решение уравнения:

(l + ori)(l-f 1Г2) = (Ц-0Г2).

Величина 1Г2 называется наведенной будущей процентной ставкой (implicit interest rate) или наведенной форвардной процентной ставкой (forward interest rate). Кривая доходности обычно показывает ставки типа о ! и ог. Наведенная форвардная ставка может быть вычислена через них. Вообще