20, если цена акции равна 40.

Таким образом, наша стратегия дает в точности такие же платежи, что я два колл-опциона. Из соображений отсутствия арбитража следует, что эти два портфеля (акция плюс долг 20, с одной стороны, и два колл-опциона, с другой стороны) должны иметь одну и ту же цену. Тогда 2С = 5* - 20, т. е. С - {S - 20)/2. Заметим, что при оценке стоимости опциона мы не делали никаких предположений о вероятности, с которой понижается или растет цена акции.

Этот пример демонстрирует простой факт: если мы можем воспроизвести поток платежей от опциона с помощью других ценных бумаг, то цена опциона полностью определяется цепами этих бумаг.

Если же соответствие между ценой акции и ценой колл-опциона па нее нарушается, можно получить арбитражную прибыль. В описанном примере соответствие задается равенством C = {S - 20)/2.

Пусть с обозначает заявку на покупку (бид) колл-опциона, 5 - заявку на покупку акции; С и 5° - заявки на продажу (аск), соответственно, колл-опциона и акции. Тогда можно получить арбитражную прибыль, если, например,

С > (5 - 20)/2 либо если C < (5 - 20)/2.

В первом случае следует продать колл-опцион и купить акцию. Во втором - купить колл-опцион и продать акцию. Заметим, что если па рынке есть текущая заявка на покупку акции 5 и вы выставляете заявку на продажу колл-опциопа, удовлетворяющую второму неравенству, то тем самым вы даете возможность осуществить арбитраж кому-то другому!

3.4 Биномиальная модель цены: европейский однопериодный колл-опцион

Биномиальная модель (binomial option pricing model) предполагает, что в любом периоде цена акции может сместиться либо вверх, либо вниз от текущей цены. Пусть > 1 - сдвиг вверх, а d < 1 - сдвиг вниз. В рамках использовавшихся нами обозначений: высокая цена 5 = Su, низкая цена Sd = Sd, где S есть текущая цена акции. Как и ранее, при определении цены опциона нам не потребуются вероятностные предположения об изменении цены акции.

Мы будем использовать следующие обозначения: S = текущая цена акции;

Su = будущая высокая цена акции (состояние II); Sd = будущая низкая цена акции (состояние L); г = 1 + безрисковый процент; X = цена исполнения; С - цена колл-опциона,

которую и надо определить.

Будем предполагать, что и > г > d, - это необходимо для предотвращения арбитража (если г > , то надо продать акции и инвестировать вырученную сумму под безрисковый процент г; если > г, то надо занять деньги под безрисковый процент г и купить акцию). Определим

С = max{0,Su- X},

Cd = max{0,Sd-X}.

Если и Си , и Cd равны нулю, то колл-опцион заведомо не будет исполняться, так что предположим, что Си > 0.

А) Рассмотрим портфель из -f 1 акции и -к колл-опционов. Будущие платежи от этого портфеля составят:

Состояние L Состояние Н Sd-kCi Su-kCu

Выберем к так, чтобы

Sd-kCd = Su-kC,

т. с. получился безрисковый портфель. Для этого необходимо, чтобы

(Su - Sd)

Это отношение называется коэффициентом полного хеджирования (hedge ratio).

Стоимость приобретения такого портфеля в настоящий момент есть S - кС. Так как портфель дает гарантированный доход Su - кСи , должно быть выполнено соотношение

откуда

S {Би-кСи) - 1 кг Цена колл-опциона С есть функция текущей цены акции, будущих возможных цен акции, цены исполнения опциона (от которой зависят С и ) и безрискового процента.

В нашем примере было X = 30, Su = 40, Sd = 20, г = 1, так что

Си = 10, = О, А; = 2,

что даст 5 - 2С = 20 и С = (5 - 20)/2, как и ранее.

Б) Мы можем также определить цену опциона, используя акции и безрисковые активы для воспроизведения платежей, порождаемых опционом. Пусть мы покупаем д акций и занимаем $6. Мы хотим выбрать 5 и 6 так, чтобы