Второй член этого выражения представляет собой (нейтральную к риску) вероятность исполнения колл-опциона, помноженную на цену исполнения и деленную на коэффициент дисконтирования за п периодов. Таким образом, второй член - это дисконтированный ожидаемый расход. Первый же член есть дисконтированный ожидаемый доход. Сомножитель-сумма в выражении для дохода не является вероятностью иснолнения опциона, так как доход зависит от реализации различных значений цен акций (а расход - нет). Однако можно еще продвинуться но пути упрощения и прояс-пепия. Используя определение тг, преобразуем выражение для С:

С = 553 (7ги/г)(1-7ги/г) ---Хг- 53 Г тг(1-1г) --\

j=m \J/ j=m \JJ

Пусть в = жи/r. Тогда

С = 8Ф{т,п;в) - Хг- Ф{т,п;1г),

где Ф(т,п;в) есть вероятность того, что биномиальная случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью в и значение О с вероятностью (I - в), примет значение 1 как минимум т раз в п попытках.

Чтобы совершить, как было обещано ранее, предельный переход, предположим, что опцион погашается за время Т, а п есть число периодов, на которые мы делим интервал времени между настоящим моментом (примем настоящий момент за 0) и моментом Т. Соответственно мы должны подобрать значения г, и Ti d, чтобы учесть малую длину периода; например, значение и = 1.5, правдоподобное для периода в одну неделю, совершенно пе годится, если период длится пять секунд.

Проще всего скорректировать г. Требуется, чтобы представляло собой стоимость 1-долларового актива в момент Т.

Поэтому определим

р = rl , так что /з = ,

т. е. р есть единица плюс безрисковый процент за интервал времени длины Т/п.

Займемся теперь подбором и и d. Пусть Sx есть (случайная) цена акции в периоде Г. Ожидаемая величина темпа роста цены акции (если считать рост непрерывным с постоянным темпом) за интервал времени длиной 1 от < до < + 1 есть

E{\og{S,JS,)}.

Обычно делается предположение, что темпы роста независимы и одинаково распределены; обозначим среднее значение через /Z, а дисперсию - через а . Тогда за Т периодов средний рост цены составит р,Т, а дисперсия - сгГ.

Пусть за п шагов было j увеличений и (п - j) уменьшений цепы. Тогда St = Sud , так что

log(5r/5) = ilog(u) + (n - j)log{d).

Это выражение можно переписать как

log(5r/5) = jlog{u/d) + nlog(d),

так что

E{\og{SrlS)} = E{j)\og{u/d) + nlog(d).

Если q есть истинная вероятность повышения цены (которая не обязана совпадать с тг), то E{j) = nq. Дисперсия есть log{u/df[E{f} - (E{j}y] = n[g(l - q)log{u/dy], так как E{j} = nq + in - n)q\

Если требуется, чтобы в пределе для темпа роста цены получились среднее значение цТ и дисперсия <тГ, мы должны выбрать и, d н q так, чтобы

Иш [nq\og{uld) + nlog(d)] = цТ,

п-*оо

]1т n[q{l-q)log(u/dY] = (TT.

п-*оо

Эти условия удовлетворяются, если

и = ехр{(Ту/7>}, d = ехр{-(тУ1>},

д=1/2 + {1/2){р/а)у/т/.

При подстановке в первую формулу левая часть равна (гТ независимо от п, а правая часть второй формулы дает

п(1/2 + (1/2)(/х/ст)У7>)*

*(1/2- (l/2)(/x/<T)y/7>)log(exp{2a}) =

= n/4(l-(/x/(T)2T/n)4ff2T/n = аТ-цТУп -> (тТ при п -> оо. Ранее мы получили выражение для цены колл-онциона:

С = 8Ф{тп,щв) - Xr-Ф{m,n,г),

где в = тги/г и тг = (г - d)/{u - d).

Можно показать, что если в эту формулу подставить найденные значения и и d и перейти к пределу при п, стремящемся к бесконечности, то получится формула Блэка-Шоулза

С = SN{d - Xr-N{d2),

где = log[S/iXr-)]/aVT+{l/2)aVT, d = dy-as/f,aN{d) есть функция распределения для нормального распределения с параметрами (О, 1).