3.4. Преобразовшия распреде.пеннй 77

это преобразование Лапласа - Стилтъеса (ПЛС)

ф) = j е-ЧР{х). (3.4.1)

Моменты распределения выражаются через ПЛС согласно

f,{-l)фfЦ,=o, k=h2,... (3.4.2)

При известном правиле вычисления ПЛС дифференцирование может быть выполнено аналитически либо с помощью многократного численного дифференцирования в нуле на основе полученной алгоритмически таблицы. Соответствующая процедура входит в состав пакета МОСТ - см. разд. 3.17.

Для дискретных распределений вводится производящая функция

P{z) = J2-pi, 0<.<1. (3.4.3)

Производящая функция пуассоновских вероятностей

P(z) = e--\ (3.4.4)

Для отрицательного биномиального распределения производящая функция

l-[l-p)z\

(3.4.5)

В задачах теории очередей и управления запасами часто приходится выполнять свертку распределений, т.е. находить распределение суммы независимых случайных величин. Примером такой задачи служит построение распределения времени пребывания заявки в системе V{t) по распределениям W{t) времени ожидания и B{t) чистой длительности обслуживания. В терминах ПЛС

iy{s) =u;{s)l3{s) (3.4.6)

(ПЛС свертки равно произведению ПЛС составляющих). Свертка может быть выполнена непосредственно в моментах на основе символического разложения

/ = (ш + 6) (3.4.7)

3.5. Задачи теории очередей

Теория очередей в русскоязычной литературе чаще именуется теорией массового обслуживания (ТМО) и здесь рассматривается потому, что является основой математического аппарата для расчета восстанавливаемого ЗИПа. Термин массовое предполагает многократную повторяемость ситуаций в том или ином смысле (много прибывших в систему и обслуженных заявок, большое число находящихся в эксплуатации аналогичных систем) и статистическую устойчивость картины. Выводы и рекомендации, получаемые методами ТМО, применимы лишь при наличии одного или обоих названных факторов.

Модель задачи массового обслуживания включает в себя:

поток заявок;

каналы обслуживания;

организацию очереди и дисциплину обслуживания;

показатели эффективности.

Дадим содержательное описание и перечень возможных вариантов задания этих элементов и установим математическое содержание соответствующих понятий.

в котором после развертывания бинома показатели степени переводятся ъ индексы соответствующих моментов. Простота этих соотношений - серьезный аргумент в пользу применения метода моментов.

Производящая функция суммы дискретных случайных величин (т.е. их свертки) равна произведению производящих функций слагаемых. Если производящая функция распределения слагаемого есть Pi(z) , а производящая функция числа слагаемых - Г2{) - то производящая функция суммы

P{z) = Р2(Рг(г)). (3.4.8)

Свертка дискретных распределений в моментах выполняется так же, как для непрерывных распределений. Для получения отдельных вероятностей свертки применяется формула

3.6. Поток заявок

3.6.1. Основные определения

Входящий поток задан, если для каждого номера п задано совместное распределение интервалов {zi, zo,..., Zn} между смежными заявками: Zi = ti - to = О . Если длины упомянутых интерва-

лов независимы в совокупности, то зависимость момента прибытия очередной заявки ti от предыстории процесса сводится к фиксации (поток с ограниченным последействием). Такой поток может быть задан функциями распределения Ai{t) = Prjzf < t] . Если Ai{i) - A{i) при всех г > 1 , поток называется рекуррентным. Это наиболее общий случай из реально используемых в расчетах.

Обозначим Zk{t,T) событие, состоящее в появлении ровно к заявок на полуинтервале [t,tт) . Свойства потока заявок могут быть охарактеризованы через вероятности {рк(,т)} таких событий. Поток называется стационарным, если эти вероятности определяются только длиной интервала г и не зависят от его положения на оси времени (переменная t). Поток называется потоком без последействия, если события Zk{ti,Ti) и Zk2{i2,T2) для неперекрывающихся интервалов времени независимы. Поток считается ординарным, если вероятность появления на элементарном участке [t,t-\- At) более чем одного события имеет порядок малости o{At) , т.е. выше At. Поток, одновременно удовлетворяющий всем перечисленным требованиям, именуется простейшим.

Указанные свойства наблюдаются часто, но не всегда. Например, интенсивность потока заявок может зависеть от времени суток или года, заявки могут поступать группами постоянного или случайного объема. Сразу же заметим, что в случае неординарного потока требований в виде пачек постоянного объема удобнее переходить к ординарному потоку групповых заявок.

Для определения количественных характеристик потоков введем вероятность ni(t,r) появления хотя бы одного требования за интервал длины т , прилегающий справа к t . Параметр потока вычисляется по формуле

A(t) 1 lim Mill. (3.6.1)