Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Теория очередей и материальные запасы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

3.11. Законы сохранения в теории массового обслуживания 89

систем и СМО с ограниченной очередью. В остальных случаях она равна интенсивности входящего потока.

Выбор показателей. Часть названных показателей характеризует СМО с точки зрения потребителя, другие - с позиций эксплуатационного персонала. Улучшение оперативности обслуживания, в котором заинтересованы клиенты системы, достигается путем увеличения мощности системы и ухудшает показатели загрузки. Поэтому говорить об оптимизации системы можно только при комплексном подходе к ней. В качестве обобщенного показателя эффективности обычно берется взвешенная сумма показателей разных групп - по одному от каждой. Примером комплексного подхода и источником полезных аналогий может служить задача о выборе оптимального оборотного запаса (см. главу 9).

Часто системы проектируются из условия обеспечения заданных вышестоящим органом показателей обслуживания при минимальных затратах. Однако обосновать требуемые показатели очень трудно.

Выбранный показатель эффективности должен быть достаточно чувствителен к варьируемым параметрам системы. Это требование, в частности, делает работу с ДФР предпочтительнее, чем с обычной функцией распределения, так как последняя в практически интересной области высоких вероятностей успешного решения задачи меняется чрезвычайно медленно.

3.11. Законы сохранения

в теории массового обслуживания

Существование стационарных режимов в системах массового обслуживания при стационарном входящем потоке возможно лишь при выполнении фундаментальных соотношений типа законов сохранения между некоторыми количествами, характеризующими состояние системы. Эти законы имеют отчетливое физическое истолкование, а их применение упрощает анализ СМО. При кажущейся очевидности вербальных формулировок упомянутых законов из них удается извлечь далеко не тривиальные и весьма конструктивные следствия. Рассмотрим наиболее важные из законов сохранения ТМО.

Сохранение заявок. Закон сохранения заявок формулируется в следующем виде:



Отношение

р = ХЬ/п (3.11.3)

называется коэффициентом, загрузки системы и для однолинейной СМО совпадает с вероятностью ее занятости.

Сохранение очереди. Зафиксируем число заявок в очереди перед прибытием очередной заявки и в момент приема ее на обслуживание. Очевидно, что при дисциплине очереди FCFS

распределение числа заявок, прибывших за время ожидания начала обслуживания, совпадает с распределением длины очереди перед прибытием заявки.

Сформулированный принцип справедлив для системы G/G/n и всех частных вариантов ее. Этот же принцип в некоторых случаях может быть усилен и применен к системе в целом:

распределение числа заявок, прибывших за время ожидания окончания обслуживания, совпадает с распределением числа заявок в системе перед прибытием заявки.

Частота поступления заявок в канал обслулшвания в среднем равна частоте выходов из этого канала.

Покажем, как использовать этот принцип для расчета вероятности свободного состояния однолинейной системы GI/G/1. Пусть а и 6 - средний интервал между прибывающими заявками и средняя длительность обслуживания соответственно, средняя частота прибытия заявок Л = 1/а. Частота обслуживании равна вероятности занятости I - ро , деленной на Ь. Значит, в стационарном режиме должно быть 1/а = (1 - ро)/Ь , откуда следует

ро = 1-Ь/а. (3.11.1)

Для n-канальной системы условие баланса заявок сводится к

(п - j)pj =п-\Ь = п{1- ХЬ/п). (3.11.2)



3.11. Законы сохранения в теории массового обслуяишания 91

Поскольку условие первый пришел - первый обслужен должно быть сохранено, усиленная формулировка работает для более узкого класса систем: G/G/l и GlD/n , в которых гарантируется совпадение порядка завершения обслуживания с порядком выборки из очереди.

Законы сохранения очереди позволяют установить связь между распределением времени пребывания заявки в очереди и производящей функцией распределения числа заявок в ней перед прибытием очередной заявки.

Производящей функции можно придать прямой вероятностный смысл: если считать, что каждая заявка с вероятностью z независимо от остальных обладает некоторым свойством (например, является красной ), то П(г) есть вероятность иметь все заявки красными .

Пусть

w{t) - плотность распределения времени ожидания начала обслуживания,

П(2:) - производящая функция распределения числа заявок в очереди в момент прибытия новой заявки.

Поскольку Xl[z) можно истолковать как вероятность отсутствия в системе синих заявок в момент прибытия новой, из сформулированного выше закона сохранения очереди следует равенство

П(.-) = j e--w{i)dt, о

которое после подстановки z - l - s/X можно переписать как уравнение для ПЛС распределения времени ожидания начала обслуживания:

uj(s) =П(1-5/А). (3.11.4)

Оно устанавливает связь между штучными и временными показателями работы СМО. Приравняв множители при одинаковых степенях s в степенных разложениях обеих частей равенства (3.11.4), убеждаемся, что

/с -ад/A 1,2,..., (3.11.5)

Я[к] = - 1) . {П -к + 1)7Гп



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123