YXihi. (6.2.3)

Сравнение формул (6.2.2) и (6.2.3) указывает на то, что совместная оптимизация может дать некоторую экономию.

Достоинства обоих рассмотренных подходов (независимой и полностью совмещенной оптимизации) соединяют поставки по системе кратных периодов. При этом отдельные номенклатуры со сходными значениями стоимостного спроса объединяются в совместно заказываемые группы, что позволяет получить малое расхождение между групповым и индивидуальным оптимумами. За счет же кратности периодов снабжения по группам удается достичь частого совмещения заказов. Такая стратегия была впервые предложена автором в [52] (1966 г.) и многократно переоткрывалась в дальнейшем [104, 105, 106, 109, 122, 134, 136, 146. 158. 163. 166, 170, 175. 203].

Поставим задачу о расчете оптимальной системы кратных периодов, в которой по крайней мере одна из номенклатур заказывается в каждом базисном периоде Т. Обозначим:

(А:) - множество номенклатур с периодичностью поставок кТ, Пк - число элементов такого множества.

Для некоторых к соответствующие множества могут быть и пустыми.

Расходы на снабжение г-й номенклатурой в единицу времени при А:,- > 2 составляют

При одновременном заказе всех номенклатур его периодичность будет в общем случае отличаться от оптимальной периодичности по каждой из компонент при независимом снабжении, что приведет к некоторому увеличению расходов. С другой стороны, это позволит сэкономить на заказах. Суммарные затраты в единицу времени при данной организации поставок должны подсчитываться по формуле

1 1

i=l i=0

и при оптимальном выборе Т составят

а для номенклатур первого множества

2 Т щТ

(здесь стоимость заказа, не зависящая от числа номенклатур, равномерно разложена по номенклатурам первого множества). Необходимо таким образом выбрать базисный период Т и так произвести разбивку всех номенклатур на упомянутые множества, чтобы сумма

была минимальной.

Найдем производные функции Ь{Т) в интервалах постоянства группировок, т.е. при фиксированных :

dL . . А

Вторая производная на этих интервалах всегда положительна. Рассмотрим поведение dL/cIT в крайних областях полуоси [0,оо). При достаточно большом Т все номенклатуры окажутся в множестве (1) и производная будет равна

dL 1Д. 1

1 = 1 1=0

откуда

Пт dL/dT= -Va./j, > 0.

Т-оо 2

с другой стороны, при очень малых Т каждое множество при неравных [Xihi] сведется к одному элементу. Тогда главную часть расходов в единицу времени составит до/Т; соответственно dL/dT ~ -д/Т и \\mT-,Q(dL/dT) =-оо .

Найдем теперь границы постоянства группировок. Коэффициенты при Т \л 1/Т, входящие в (6.2.4), меняются при перегруппировке номенклатур, связанной с переходом номенклатур множества (к) в множество (к - 1) при увеличении Т. Очевидным условием такого перехода i-й номенклатуры является неравенство

> 0.

а момент перехода определяется равенством уменьшаемого и вычитаемого, т.е.

Xihik,(ki-\)

(6.2.5)

(индекс <<п означает правую границу интервала).

Расположим все номенклатуры в порядке возрастания отношений {УгЦКи)} и перенумеруем их заново. Тогда условие (6.2.5) будет выполнено прежде всего для первого элемента множества (к), имеющего наименьшую в данном множестве величину упомянутого отношения. Пусть в точке Тпг номенклатура г перешла из множества (к) в множество (А- - 1) . Функция Ь{Т) , очевидно, непрерывна. Скачок производной в точке перегруппировки Тпг составит

1лд,р.-1)-М-

Но согласно (6.2.5)

Тиг =

\rhrkr[kr-\)

Следовательно,

flr\rh,kr(kr - 1) 1

Таким образом, функция Ь{Т) непрерывна, кусочно-выпукла и имеет отрицательные скачки производной на правых границах интервалов