6.4. Планирование запасов при ограничениях 187

на покрытие избыточного спроса по второй номенклатуре запасом по первой - всего ckXiT - ГУ2/А2) = ск{\2Т - qo) ;

на хранение всего этого запаса в течение 2/2 и в среднем его половины - на интервале длины [Т - 2/2) , итого

кХ2{Т - q2/X2)Y + {Т - q./XoS

= [(АзГ)-.?]-

Суммируя найденные компоненты, получаем общие затраты за цикл по второй номенклатуре

Дифференцируя по q2 , имеем условие его оптимальности

012 h2q2 , hikq2

-77- = -т--ск---- = о,

oq2 Х2 Х2

откуда

Я2 =

h2 - khi

Далее находим /2 = Я2/2 и вычисляем и - {Х\ + кХ2){Т - 2)

6.4. Планирование запасов при ограничениях

6.4.1. Метод множителей Лагранжа

Как было показано Куном и Таккером, оптимальное решение и связанный с ним вектор множителей образуют седловую точку функции Лагранжа. В частности, проблема оптимального комплектования набора запчастей сводится к поиску максимума скалярной целевой функции

max Ф{Х), G{X) < С, X = {xi}, Xi = 0,1,2,..., i = 1,7.

(6.4.1)

Целевая функция обычно монотонна и выпукла, аргументы - целочисленные неотрицательные, вектор-функция G{X) состоит из линейных компонент (стоимость, вес, объем). Чаще всего ограничение одно.

Следовательно, ограничение можно переписать в виде

Полагая Y1 - преобразуем его в U/у/f - 2kz = С/к и

после несложных преобразований находим

z* = [f-ikU/C)]/{2k).

Существенный элемент метода - замена задачи (6.4.1) на максимизацию вспомогательной функции

тах[Ф{Х)-ОС{Х)]. (6.4.2)

Здесь 9 - множитель Лагранжа (вещественный, неотрицательный). В случае т ограничений решается задача максимизации

Ф(Х)-гС,(Х). г = 1

6.4.2. Многономенклатурные закупки Совместное ограничение чаще всего имеет вид

C = kJ2qjCj,

где к -коэффициент одновременности (практически 1/2); qj -объем партии; Cj -стоимость закупки единицы товара. Цену хранения представим в виде hj = fcj . Для бездефицитной модели с мгновенным восполнением функция затрат

где С - допустимые капиталовложения \л z - множитель Лагранжа. Оптимальное решение при известном значении z

6.5. Периодические поставки, вероятностный спрос 189

Более общие (и более реалистические) постановки задачи с ограничениями типа неравенств приводят к проблеме математического программирования, обычно решаемой численно с применением различных модификаций градиентного спуска.

6.5. Периодические поставки, вероятностный спрос

6.5.1. Заданная периодичность

В данном разделе будем считать длину периода фиксированной (что избавляет нас от учета фиксированных составляющих стоимости заказов), а все стоимостные параметры и распределения спроса - заданными в расчете на этот период. Затраты на хранение естественно принять пропорциональными остаткам к концу периода.

Имея в виду комплектное обеспечение спроса, следует исчислять штраф на основе распределения максимума дефицита

Fiu) = l[Fi{Si+u),

где {Si] - запланированные уровни запасов. Однако при этом получить простое решение не удается. Поэтому будем считать штраф пропорциональным максимуму взвешенного ожидания дефицита, т.е. исчислять его как

max (1

С учетом затрат на доведение исходных уровней запаса {zi] до расчетных минимизации подлежит сумма затрат за период

aaxdi j(x- Si)fi(x) dx. (6.5.1)

L{S) = E

2=:1

r{Si-Zi) + hiJ{Si-x)fi{x)dx

-f max (if / (x - Si)fi{x) dx.

5,

(6.5.2)

Из (6.5.2) видно, что транспортные затраты и издержки на хранение могут быть сокращены без какого-либо увеличения штрафа -