Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Теория очередей и материальные запасы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

7.5. Децентрализованная система при вероятностном спросе 219 дифференцирование, убеждаемся, что

со со

1 - -dj J fj(х) dx + di j fi{x) dx + qj.

Нижние пределы интегрирования в последнем уравнении представляют собой оптимальные запасы после перераспределения, так что условие оптимальности перевозки qij может быть записано в форме

со сю

di I /. (х-) dx -djj fj(х) dx + с, = О (7.5.3)

(г - поставщик, j - получатель).

Для разделения складов на множества М и М~ можно, временно отвлекаясь от транспортных расходов, минимизировать сумму штрафов в системе

id = Xf/W(a;-5.)/,(a;)cx; (7.5.4)

=1 S.

при условии, что суммарный запас в системе остается неизменным. Дифференцируя (7.5.4) по {Si} , приходим к системе уравнений для условно оптимальных запасов

оо 00

di / fi(х) dx = di f fi{x)dx, i = 2,n,

n . (7.5.5)

ZSr = E.-.

2=1 2=1

Искать корни такой системы удобно, задаваясь набором значений одного из {Si] (для определенности положим, что это .Si ). Независимым решением первой группы уравнений (7.5.5) можно получить {5i(5i)} для г = 2,п, а затем и их сумму. Решая относительно Si уравнение

f2Si{Sx) = J2

2=1 2=1



находим Si и, выравнивая взвешенные вероятности дефицита, рассчитываем остальные {Si] . Очевидно,

геМ+, если Si < Zi, (7 5 6)

i G М~, если Si > Zi У )

При Si - Zi склад в перераспределении не участвует.

Рассмотрим динамику изменения левой части (7.5.7) в процессе перераспределения. Поскольку запас у поставщика снижается, а у получателя растет, эта функция будет возрастать. Но ее значение в оптимальной точке равно нулю. Следовательно, при исходном состоянии запасов должно выполняться условие

оо оо

di j fi{x) dx - dj I fj{x) dx + dj < 0 (7.5.7)

ДЛЯ всех пар складов, участвующих в перераспределении. Проверка данных соотношений позволяет сформировать множества {Ui] получателей склада г и множества {Vj] поставщиков склада j и уточнить списки получателей и поставщиков в смысле их сокращения.

Нетрудно показать, что в процессе перераспределения новые направления целесообразных перевозок возникать не могут. В самом деле, пусть склад i - поставщик, j - получатель, а склад к в перераспределении в начальный момент времени не участвует. Это означает, что для Si = Zi, Sj - Zj

oo oo

di j fi{x) dx - 4 J fk{x) dx + dk > 0,

oo oo

dk j fk{x) dx - dj j fj{x) dx -f Ckj > 0.

Ho в ходе перераспределения fi{x) dx растет, a fj(x) dx уменьшается. Следовательно, списки поставщиков и получателей могут только сокращаться.

Выпишем уравнения (7.5.7) для всех пар перевозок, целесообразных при исходном состоянии запаса, и просуммируем их квадраты по



каждому поставщику и получателю. В результате имеем систему уравнений

di / fi(x) dx

5. со

- Е d, J f,{x)dx-cij =0, i€M+,

= 0, jGA/-.

di\!i[x)dx - E di\ h{x)dx + c

\ S, / iV, \ 5.

(7.5.8)

Здесь через щ и Vj обозначены мощности множеств 11[ и Vj соответственно.

Решение этой системы для определения оптимальных запасов может проводиться одним из численных методов - например, по Ньютону или методом скорейшего спуска. На каждом шаге необходимы:

контроль неотрицательности запасов у поставщиков;

при необходимости - изменение шага;

исключение перевозок, ставших нерациональными;

корректировка состава множеств IJ,V\M и М~ .

Расчет {5*} заканчивается, когда множество М~ окажется пустым (одновременно опустеют и все остальные множества).

Сопоставляя объемы {5*} запасов на каждом складе после перераспределения с начальными запасами, можно определить суммарный объем поставок, полученных (отправленных) данным складом, и, решая транспортную задачу, найти наиболее экономичный план перевозок, реализующий окончательное распределение {5*} . Общая схема алгоритма:

1) Решая систему (7.5.5), получить условно оптимальные запасы

2) Сформировать исходные множества поставщиков и получателей согласно (7.5.6).

3) Рассчитать произведения di J для всех i G Л/ U М~ .

4) Для всех j G М~ принять Vj пустым, Vj = О .

5) Для всех i G М+ выполнить следующие операции:

а) положить Ui пустым, Ui = О ;



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123