Тел.факс: +7(831)437-66-01
Факторинг  Теория очередей и материальные запасы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

9.2. Основная модель

Будем считать, что штраф за недостачу ЗИПа пропорционален среднему числу пользователей, простаивающих в единицу времени. Очевидно, вложенные в ЗИП средства омертвлены независимо от того, исправны его элементы или находятся в ремонте. Таким образом, функция затрат в единицу времени, связанная с ЗИПом объема s , принимает вид

L{s) = hs-{-d Y {k-s)pk, (9.2.1)

k=s + l

где h - цена хранения; d - цена штрафа; pk - стационарная вероятность нахождения в ремонте к агрегатов. Общие условия (5.6.13) оптимальности дискретного запаса s* с помощью (9.2.1) преобразуются в неравенства

h-d Pk > О,

k=s*

dJ2Pk-h > 0.

Их можно объединить в

Pk<h/d< pfc. (9.2.2)

k = s* + l k=s*

служить M/M/1/S . Здесь в состоянии О запас равен S . В состоянии 5-1-1 отказавшую деталь заменить нечем, и система простаивает. Вероятность простоя

ps+i=/+4l-/+)/(l-/), Р = А ..

Модели различаются также типами входящего потока и распределений длительности обслуживания. Недостатком этого подхода является трудность расчета многоканальных СМО с немарковским обслуживанием (см. главу 3).

Особым случаем является часто используемая без явных ссылок модель M/G/oc>, где очередь и отказы не возникают вследствие бесконечного числа каналов.



9.2. Основная модель

Если штраф определяется самим фактом недостачи и не зависит от ее объема (это бывает при обеспечении одной системы, нормальная работа которой при недостаче ЗИПа не гарантируется), целевую функцию следует записать в виде

Здесь условием оптимальности будет

Ps*+i < h/d<ps*.

(9.2.3)

(9.2.4)

Неравенства (9.2.2) и (9.2.4) были получены безотносительно к организации ремонта и характеристикам потока заявок и в этом смысле являются универсальными. Конкретное распределение {р} вычисляется методами теории массового обслуживания - см. главу 3.

При простейших допущениях (система М/М/1) удается получить явные версии условий (9.2.2) и (9.2.4). В этом случае при коэффициенте загрузки системы восстановления р = Х/р, стационарные вероятности {рк} подсчитываются согласно

Рк = {1р)р, k = 0,h... (9.2.5)

Соответственно при штрафе по ожидаемому дефициту функция затрат

L{s) = hs + dp+/{l-p), а оптимальный объем ЗИПа дается формулой

\Q(d/h)

При штрафе по вероятности недостачи имеем функцию затрат

L(s) =/15 +

а оптимальный ЗИП

S =

Hd{l - p)/h)

(9.2.6)

(9.2.7)

(9.2.8)

(9.2.9)

В обоих случаях берется целая часть взятых в скобки отношений логарифмов. Логарифмы могут быть взяты по любому основанию.



При тех же данных оптимальный запас составит целую часть от

lg(350-10150) lg2330 = lg(0.0833/.02) = line = 3.36 0.620 = 5.44,

Т.е. 5 штук, а ожидаемые затраты в 1.79 раза меньше:

о (0.02 12)

L(5) = 150 5 + 350 10

1-0.02-12

1 91 10 *

= 750 -f 0.35 10--- = 750 -f 88 = 838 долл. 0.76

Следует подчеркнуть, что распределение числа заявок в системе массового обслуживания даже при равенстве средних значений чрезвычайно чувствительно к виду распределения длительности обслуживания. На рис. 9.1 и 9.2 представлены графики распределения и ДФР числа заявок в системе M/G/1 для загрузки р = 0.7 и гамма-распределения длительности обслуживания при указанных на кривых коэффициентах вариации. Случай v = О соответствует регулярному обслуживанию.

Графики демонстрируют большой разброс определяющих выбор оптимального запаса точек пересечения кривых с горизонталью, проведенной на уровне отношения h/d. Это указывает на обязательность учета дисперсии распределений длительности обслуживания. Разброс быстро возрастает с уменьшением упомянутого отношения.

Пример. Предположим, что требуется оценить экономичность оборотного запаса 5=10 штук восстанавливаемых узлов авиационного двигателя при стоимости детали 600 долл., среднем времени восстановления =12 дней и интенсивности потока отказов Л = 0.02 в день. Стоимость годового хранения примем h = 150 долл. Штраф будем исчислять по ожидаемой недостаче. В [165] удельный штраф за простой самолета определен как стоимость аренды нового в сумме 1 тыс. долл. в день, или 365 тыс. долл. в год. Примем d =350 тыс. долл. Тогда годовые ожидаемые затраты при плановом запасе 10 штук

L(10) = 150. 10 + 350.10з

1 52 10~

= 1500 -{- 0.35 10---= 1500.07 долл.

0.76



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123