= 11,07% 9

Для того чтобы получить стандартные отклонения, нужно извлечь из дисперсий квадратный корень. Квадратный корень из 2,86% равен 16,9%, а квадратный корень из 11,07% равен 33,3%.

Затем следует подставить полученные результаты в исходную формулу:

Гух = SySx

Таблица 8.3. Коэффициент корреляции

Дисперсии переменных равны этим суммам, деленным на (п-1):

- = 2,86%

1,65%

Гух =---- = 0,29344

16,9% 33,3%

Вот более элегантный способ записи формулы для коэффициента корреляции:

E(ZxxZy) п-1

Xi-X где Zx = -

и Zy =

Sx Yi-Y

Точно так же, как и для грубой оценки корреляции, которую мы получили из четырехклеточной таблицы, расчеты числителя и знаменателя приведенной выше формулы были основаны на отклонениях наблюдений от средних значений.

Рабочее уравнение

Коэффициент корреляции - это рабочий инструмент для исследования зависимостей, представленных на диаграмме рассеивания. Он показывает степень линейной зависимости между двумя переменными, проявляющуюся в том, насколько плотно рассеяны точки наблюдений вокруг прямой линии наилучшего соответствия. Проще говоря, если расстояние от точек наблюдений до прямой, аппроксимирующей зависимость, небольшое, то корреляция высокая.

В нашем примере корреляция между ставками казначейских векселей и доходностью акций S&P 500 по данным за 10 лет, приведенным в табл. 8.2 и 8.3, равна 0,29, но если рассчитать корреляцию за все 39 лет по данным из табл. 8.1, то

она будет равна -0,07. Это показывает очень характерную для временных рядов экономических данных нестабильность корреляции. В нашем случае все объясняется результатами всего одного 1995 года, когда наблюдались и высокие процентные ставки, и высокие цены на акции, что и превратило слабую отрицательную корреляцию в положительную. (Мы благодарим Стива Стиглера за то, что он обратил наше внимание на этот выброс в данных.) В мире спекуляций на фондовом рынке на такую корреляцию опасно рассчитывать. На практике мы обнаружили, что только корреляция выше 0,10 или ниже -0,10, базирующаяся на 100 или более наблюдениях, может быть полезной.

Мы используем при принятии решения о пользе корреляции такой принцип: произведение коэффициента корреляции и количества наблюдений должно быть не меньше 10. Так, для 50 наблюдений можно считать значимой корреляцию 0,20, а для двадцати наблюдений значимая корреляция не должна быть меньше 0,50.

Информация, которую дает коэффициент корреляции, может быть полезна инвестору во многих отношениях. Например, она может показать, в какой степени изменения переменной Y могут объясняться изменениями переменной X. В нашем случае - в какой степени изменения цен на акции S&P 500 могут объясняться изменениями учетных ставок.

Еще один способ выразить ту же самую идею: квадрат коэффициента корреляции показывает ту долю изменений одной переменной, которая объясняется другой переменной, а не случайными отклонениями от среднего.

Коэффициент корреляции нельзя использовать для того, чтобы прямо предсказывать изменения зависимой переменной по изменениям значений независимой, - для этого нужно рассчитать уравнение. Уравнение регрессии показывает положение на диаграмме рассеивания прямой наилучшего соответствия наблюдениям. Положение этой прямой задается ее углом наклона и точкой пересечения с осью У. Значение угла