иерархических сетей. Считается, что такие системы, подобные себе только при умножении на произвольную степень множителя, являющуюся целым числом, 4 или 2 , или, на любой другой неизменный множитель 2 , где и=.. ,-3, -2, -1, 0,1,2,3 ... - целое число, обладают дискретной масштабной инвариантностью [392]. Масштабная дискретная инвариантность представляет собой более слабую симметрию, чем общая масштабная инвариантность: она ограничена дискретным выбором множителей (в данном случае целыми степенями 4 или 2).

фращальньш размерности

В Ш веке до нашей эры Евклид и его ученики ввели в обращение концепцию размерности Это показатель степени, способный принимать положительные целые значения, равные числу независимых направлений. Размерность d, например, используется как показатель степени, связывающий обьем V с длиной L: V=L , где V - обобщенный обьем обобщенного куба с гранью длиной L. Реальный куб в нашем трехмфном пространстве имеет d=3, и обьем его равен кубу его грани L. L=LxLxL. Для квадрата d=2, и его площадь равна квадрату его стороны V=LxL. Для отрезка d=l, и его длина равна длине его стороны L, l!=L. Линия обладает одним измфением, плоскость - двумя, объем - тремя. Повфхность шара также имеет 2 измерения, поскольку положение любой из его точек может быть описано двумя координатами, широтой и долготой. Другой способ продемонсфировать то, что поверхность шара обладает размфностью, равной 2, заключается в том, что его площадь пропорциональна квадрату его радиуса.

Во второй половине XIX века и пфвой четверти XX века математики представили себе геомефические фигуры, наделенные дробными размфностями, напримф, d=l,56 или d=,5, и т.п. Вьщающимся опфьпием явилось осознание того факта, что данное обобщение понятия размфности от целых до действительных чисел офажает концептуальный скачок в науке от фансляционной инвариантности к непрерывной масштабной инвариантности. Литшя и плоскость остаются неизменными, если рассмафивать их с разных точек, перемещаемых одна в другую. Это свойство назьгоаегся фансляционной инвариантностью. Оказьгоаегся, что объекты с дробными размфностями обладают свойством масштабной инвариантности. Чтобы донести до людей эту новейшую концепцию, как уже отмечалось, Мандельброт создал слово фрактал от латинского корня fractus, обозначающего неровность, изломанность и беспорядочность объектов, представимых х, хотя бы приблизительно, масштабно инвариантными. Эта неровность может присутствовать на всех масштабах, что отличает фракталы от форм Евклвда. Мандельброт активно работал, чтобы доказать, что данная концепция - не просто математический курьез, но что она ценна для реального мира. Вьщаюпщмся фактом является то, что обобщение от целочисленных до дробных размфностей, имеет глубокое и интуитивное толковатше: нецелочисленные размфности описьгоают иррегулярные комплексы, состоящие из частей, похожих на целое.

Можно привести множество примеров присутствия фракталов в природе. Напримф, распределение галактик, некоторые горные цепи, дефектные решетки, размещение районов землефясений, скалы, удары молнии, снежинки, речные

системы, бфеговые линии, модели климатических изменений, облака, папоротники и деревья, кровеносные сосуды млекопитающих и т.п.

В своей гшонерской статье [283] Мандельброт вновь вернулся к исследованию, начатому Ричардсоном [343], касавшемуся системы соотношений между длиной национальных фаниц и размером масштаба, и расширил его. Он искусно резюмировал проблему, сформулировав вопрос, вьшесенный в заглавие его статьи [283], Какова длина бфеговой линии Великобритании? Данный вопрос - представляет суть фрактальной геомефии. Рис. 69 показьгоает синтетически созданную береговую линию, котфая обладает неровной сфуктурой, сходной с береговой линией французской Бретани.

Рис. 69. Синтетическая фрактальная береговая линия.

Данная береговая линия является неровной, а потому измфение ее прямой линейкой, как показано на Рис. 70, дает нам только приблизительную величину. Определяемая длина L(e) равна длине линейки е, помноженной на число N (е) таких линеек, необходимых для покрытия измфяемого объекта. На Рис. 70 длина бфеговой линии измфена дважды двумя линейками длиной ej и е2, причем длина второй линейки составляет примфно половину длины пфвой: f2= Понятно, что результат, полученный в результате измерения длины L fe) меньшей линейкой Значительно вьште, чем длина L (ej), полученная в результате измерения большей линейкой Для любой ифезанной береговой линии, с неровностями, наблюдаемыми при любом масштабе, результат измерения ее длины, по мфе того как линейка уменьшается, увеличивается. Концегащя (внутренней) длины становится малозначащей и должна быть заменена понятием (относительной) длины, измфяемой с двумя разными разрешениями. На вопрос: Какова длина

берега Великобритании? , мудрый человек должен ответить либо: Это зависит от линейки , либо: Бесконечность (результат, полученный при помощи бесконечно малой линейки, способной различать мельчайшие детали неровной беретовой линии).

Рис. 70. Применение метода линейки, состоящего в пофьггии неровной линии отрезками фиксированного размера. По мере уменьшения длины линейки охватываются более мелкие детали, и общая длина линии увеличивается.

Фрактальная размфность d количественно точно определяет, как относительная длина Це) изменяется в зависимости от длины линейки е (что мы также назьгоаем разрешением , поскольку детали меньше £ по определению не видны). По построению, Це) пропорциональна s возведенному в степень 1-d: Це) ~ fi . Тот факт, что показатель степени равен 1-d, а не d в данном вьфажении, следует из определения фрактальной размфносги с точки фения числа элементов, обнаруживаемых при данном рафешении: для рафешения е обычно различимо М(е)=Це)/е элементов. Число элементов, различимых при помощи линейки е, обратно пропорционально е в степени d. Для Великобритании d=l,24, что является дробной величиной. В противоположносп> берегу Британии, береговая линия Южной Африки очень гладкая, фактически дуга офужносги, и й?=/. В общем, чем более нфовной является линия, тем больше ее фрактальная размфность, то есть, тем ближе линия к заполнению плоскости (у которой размфность равна 2). Когда d=l длина Це) ~ г становится независимой от рафешения е, поскольку е =1: только когда фрактальная размфность равна топологической размерности, измфение может не зависеть от масштаба линейки. С данной ситуацией мы лучше всего знакомы из школьных уроков Евклидовой геомефии. Однако, как показьшает данное обсуждение, она составляет исключительный и особый случай: общая ситуация такова, что любое измерение, производимое на объекте, зависит от масштаба, с которым оно производится.

Давайте применим определение фрактальной размфности к двум иерархическим сетям Рис. 62 и Рис. 66. Для ромбовидной решетки Рис. 62 допустим, что отношение длины чстьфех связей, заменяющих одну связь к длине связи, равно г, скажем, 2/3. Тогда каждый раз разрешение умножается на множитель 1/г=3/2, наблюдается четьфе новых связи. Другими словами, когда разрешение умножается на 3/2, число связей умножается на 4. По определению фрактальной размерности, 3/2, возведенные в степень d должны равняться 4. Это подразумевает, что d=Ln4/Ui3/2=3.42. Таким образом, данный объект имеет большую размерность, чем объект в знакомом нам просфанстве. Тот факт, чго многомерный объект может бьтть представлен в (двумерной) плоскости, не является проблемой; это просто значит, что иерархическая консфукция очень много раз пересечет сама себя и, в

Вьфажение (8) определяет так назьшаемую однородную функцию и всфечается в теории фитических явлений, фазовых переходов жидкостей и газов, магнитной фазы, в гидродинамической турбулентности и во многих других системах [112]. Его решение является простой степенной зависимостью (х)=х , где показатель степени а (который ифает такую же роль, что и фрактальная размфность d, обсуждавшееся нами прежде) задается вьфажением

Lnfi

а = -

Данное решение может быть прямо провфено путем подстановки в вьфажение (8). Степенные зависимости являются отличительным тфизнаком

масштабной инвфиантности, так как коэффициент = д° не зависит от

х; то есть относительные значения измфяемой величины по двум различным масштабам зависят только от отношения этих двух масштабов. Это основное свойство, связьшающее степенную зависимость с масштабной инвариантностью, самоподобием и фитичностью.

данном случае, когда размфность меньше 4, мы избежим пересечений и перефьггий только при развертьшании его в пространстве из, по меньшей мере, четьфех измерений. Обратите вниматше, чго фрактальная размфность увеличивается, когда увеличивается г, то есп., когда увеличивается отношение размера каждой из чсгъфех дочерних связей к матфинской связи (в то же время оставаясь меньше 1). Это просто офажает тот факт, что фрактальный объект заполняет все большее и большее просфанство.

Те же вычисления могут быть повторены для древовидной решетки Рис. 66. Давайте предположим, что длтша вертикальных офезков, отделяющих каждый уровень ветвления один от другого, софащается на тот же самый множителъг=2/3. Теперь каждый раз, когда разрешение увеличивается на множитель 1/г=3/2, можно увидеть в два раза большее количество веток нашего дфева. Таким образом, число ветвей удваивается, когда размерность умножается на 3/2. По определению фрактальной размфносш 3/2, возведенные в степень d, должны равняться 2. Эго подразумевает, что d=Ln2/Ln3/2. Ифархическая сеть с размфностью 1,71, таким образом, является в некотфом роде пофедником между линией и плоскостью. Вновь обратите внимание, что фрактальная размфность е растет, когда растет г, то есть когда четъфе связи становятся ненамного короче, чем пфюначальная связь. Масштабная инвариантность и закон подобного преобразования. Концепция (непрерьшной) масштабной инвфиантности означает воспроизведение чего-либо самим себя на разных временных и просфанственных масштабах. Точнее, измфяемая величина , зависящая от управляющего пфамефа д:, является инвариантной к масштабу при произвольном изменении дг-д:, если существует число fi(), при котором

Организация тразньислигсштаба ренормгруппа

Принцип и пример группы перенормировок.

Выражение (8) описывает систему, находящуюся точно в критической точке, в которой инвариантность масштабной симметрии точна. Для конкретных применений нам хотелось бы обладать более полным описанием свойств системы в условиях близости критической точки, а не только непосредственно в критической точке. Очевидной причиной такого желания является то, что предвестники критической точки могут быть расшифрованы до того, как мы до нее дойдем. Вопрос состоит в том, чтобы определить, насколько вьфажение (8) остается верным, и насколько оно меняется в близости критической точки. Другими словами, какая часть точной симметрии масштабной инвариантности сохраняется при нахождении не точно в критической точке.

Ответ на этот юпрос делается вычислительной техникой, называемой группой перенормировок или ренормфуппой (renormalization group), изобретение которой, в основном, приписывается К.Уилсону (К.Wilson), получившему за нее Нобелевскую премию в области физики в 1982 году. Эта техника во многом обязана сюим окончательным созреванием другим физикам, таким как Б.Уидом (B.Widom), М.Геллман (M.Gellraan), Л.Каданофф (L.Kadanoflf), Э.Мигдал (A.Migdal), М.Фишер (M.Fisher) и /фугим. Группа перенормироюк была изобретена для работы с критическими явлениями, которые, как мы подчеркивали, уже соответствуют классу поведений, характеризуемых структурами различных масштабов и степенными зависимостями измеряемых величин от управляюищх параметров. Это весьма обищй математический инструмент, позюляющий разложить на составные части задачу нахождения макроскопического поведения большого числа взаимодействующих, частей, в последовательность более простых задач, с существенно уменьшающимся числом взаимодействующих объектов, чьи эффективные свойства изменяются в зависимости от масштаба рассмотрения. Таким образом, фуппа перенормироюк, следуя вьфажению разделяй и властвуй , решает проблему путем организации описания всей системы масштаб за масштабом. Она особенно хорошо приспособлена к критическим явлениям и системам, близким к тому, чтобы быть инвариантными к масштабам. Ренормфуппа вьфажает на математическом языке концепцию, что общее поведение системы является объединением множества произвольно определенных подсистем, где каждая подсистема определяется объединением подсистем и так далее.

Она работает в три этапа. Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим группу агентов, каждый из котфых имеет одно из двух юзможньпс мнений ( медведь или бьж , да или нет, голосовать за А или голосовать за В , и так далее). Группа перенормировок работает следующим образом.

1. Первый этап состоит в том, чтобы сгруппировать соседние элементы в маленькие группы. Например, на двумерной квадратной решетке мы можем сгруппировать агентов в кластфы, равные по размеру девяти агентам, что соответствует ква/фатам со сторонами 3 на 3.

2. Второй этап заключается в том, чтобы заменить какофонию мнений внутри каждой фуппы из девяти агентов единым, репрезентативным мнением,

Рис. 71. Данная фигура иллюстрирует эффект перенормировки для К<Кс изинговской модели (6), что соответствует беспорядочному режиму. Две различные точки зрения обозначены белым и черным. Начиная слева, с квадратной решел(и с некоей заданной конфигурацией мнений, справа показаны два успешных применения ренормфуппы. Повторяемые применения фуппы перенормировки изменяют структуру решетки все более и более беспорядочно. Все более короткие корреляционные интервалы, количественно измеряемые т;1пичными размерами черных и белых областей, постепенно удаляются с помощью процесса перенормировки, и система становится все менее и менее упорядоченной, соответствующей действующему уменьшению силы подражания К. В конце концов, после многочисленных повторений фуппы перенормировки, распределение черных и белых квадратов становится абсолютно случайным. Система отходит от критичности с помощью перенормировки. Ренормфуппа, таким образом, квалифицирует данный режим как беспорядочный при изменении масштаба.

полученным по правилу избранного большинства. Проведение данной тфоцедуры децимации , очевидно, снижает сложность задачи, поскольку существует в девять раз меньше мнений, подлежащих учету. Последний этап состоит из уменьшения масштаба или сокращения сверхрешетки из квадратов размером 3x3, чтобы придать им тот же размер, что и у изначальной решетки. После этого каадый кластф становится эквивалентен эффективному агенту, наделенному мнением, представляющим среднее арифметическое мнений девяти составляющих агентов.

Один цикл, включающий в себя фи этапа, примененный к заданной системе, фансформирует ее в новую систему, которая выглядит абсолютно похожей, но отличается одним важным аспектом: распределение и пространственная организация мнений были изменены, как показано на Рис. 71, Рис. 72 и Рис. 73.