В Табл. 19 показана попьпжа предсказать критическое время 4 при помощи линейной логопериодической формулы с использованием данных, заканчивающихся конечной датой , приведенной в соответствующей колонке таблицы, чтобы провфить надежность. Последняя конечная дата соответствует пятнице, 21 ноября 1997 года и включает значение индекса при закрьпии в эту пятницу. Соответствие по данным до пятницы 21 ноября 1997 года обнаруживается десять рещений. Пфвые восемь дают 25 < ш < 38, что федсгавляет собой довольно большой диапазон. Поскольку большие значения ы относятся к частым колебаниям, существует опасность подгонки под шум , то есть извлечение информации оттуда, где ее нет. Таким образом, полагалось, что в целях безопасности эти решения не стоит фитшмать во втшмание. При этом все они указывали на 4 98.6±0.1. Два последних решения как раз приводятся в Табл. 19. Их квадрат опшбки ) ттъ на 7% вьште самого наилучшего быстрого осциллирующего решения. Таким образом, не является параметром, позюляющим оценить фиемлемость или нсфиемлемость решения. Приняв два ттредсказания, полученных для прошедших дат 97.719 и 97.678 (вфхний индекс означает, что здесь мы выбрали наилучшее соответствие формулы с данными), за значения, которые должны обрамлять реальное время 4, мы получили 97.922 < 4 < 97.985 что соответствует 3 декабря 1997 года < tc < 25 декабря 1997 года.

Теперь, оглядьгеаясь назад и зная, что произошло в августе 1998 года (см. раздел Крах в августе 1998 года в главе 7), становится ясно, что пфвые восемь лучших решений могли бы на самом деле быть важными, поскольку указьшали на вероятные сценарии в более отдаленном будущем.

Табл. 19. Предсказания фаха лри noMoii линейной логолериодической формулы (18) ло индексу S&P500 с ислользованием временных интервалов начиная с 1994.9 до конечной даты .

Верхние индексы и относятся соответственно к наилучшему и второму лучшему соответствиям формулы с данными. Неолубликованные результаты, полученные в сотрудничестве с А. Йохансеном.

5 3

Я5 =?

о о

Предсказание пузырей, фахов и антипузырей

9 =?

/ г*

3 3 S

11 §

о о о

§ 11 §

(-п (-п

<N OS in

= 2

fnj r* -H

oo i/i t---О c> о о

o- о

s; s; &

OS Щ oq

&\ ON S\

I S I s s

C5 о о c> о

5 ® g я s

t 9 si <=?

S 2 P S

-Ч <>

i § i i §

О О О C5 О

П О

)В d Zi

ON r- (N OS

3 Й IS;

о 2 S =!

Ю 00 2 2 r-

S S S

о о о о

OS cN NO Q Ч I I o\ 0\ o\

§ S §

nS in

& & s

(N rJ ON r- Q in cf

S S S o\

*o

CN CN CnJ CN

O & 0\

- уп

0\ Os Os Os

gg j;

S;

Это хороший урок, огаосящийся к Рис. 154: эволюция будушего может иметь несколько сценариев. Динамика фондового рьшка выбирает один из них, но другая ветвь вероятно, появилась как модификация в результате различных возмущений, юздействующих на систему. Это возвращает нас в начало главы, где мы подчеркивали, как важно учитьшать в предсказаниях множественность сценариев. Как упоминалось в различных контекстах в [6], предсказательные схемы и связанные с ними прогнозы, должны определяться в вероятностных Тфминах, допускающих множественность сценариев, развертывающихся на основе одного и того же развития в прошлом. В этом подходе глубоко заложено видение будущего, как набора потенциально юзможных траекторий, которые в определеннью моменты могут ветвиться. В какой-то момент, только одна основная траектория экстраполируется с высокой степенью вфоятности из прошлого, ставя будущее в почти детерминистическую (хоть и возможно в нелинейной, хаотической манфе) зависимость от прошлого. Иногда же, будущее гораздо менее определенно, с множеством практически равнозначных вариантов. В этом случае, мы возвращаемся к картине случайных блужданий. Существование уникального будущего должно рассмафиваться не как признак отдельной динамической системы, а как фушение большого распределения вероятностей. Эта концепция найдена, например, в известной Урноюй проблеме Поля, рассмофенной в главе 4, где историческая фаектория конвергирует в определенный исход, который, однако, конфолируется исключительно союкупностью чисто случайных выборов; другой исход мог бы быть выбран историей с равной долей вероятности [20]. Очень важно рассмафивать прогнозные схемы в основном как способ характеристики вероятностей для возможных конкуррфующих сценариев. Эта точка зрения очень фко офажена в известном научно-фантастическом произведении Азимова Основание [23,22].

В Табл. 20 показана попьгаса предсказать фитическое время 4 при помощи нелинейной логопер1ЮДИческой формулы (19) с использованием данных, начинающихся с начальной даты и заканчивающихся конечной датой , приведенных в соответствующих колонках таблицы, чтобы провфить надежность. Вырисовывается чепсое предсказание фитического времени 1997.94±0.01. Некоторые соответствия дают значения tc очень близкие к конечной дате , поэтому они не должны приниматься во внимание. Так происходит с рядами, отмеченными звездочкой *. Предсказание, которому мы отдали предпочтение давало 4 -12 декабря 1997 года.

Последняя попьтгка заключалась в применении формулы Шенка (23). В данном случае, сложность представляло определение характеристического времени t . Для этого мы использовали последовательные фупномодульные локальные максимумы. Грубая оценка на глаз давала ti = 94.05, t2 = 96.15, ts = 97.1. Подставив данные значения в (23), мы получили предсказание н.= 97.884. Выражение (24) предсказывает t4 = 97.53, тогда как мы наблюдали t4 = 97.55, что было весьма неплохим подтвфждением корректности. Используя tj, /а. Ь, и 4 в (23) получаем прогноз tf = 97.955. Это было принято за предпочтительное значение, поскольку в данном случае использовалась логопериодичность за последние два

года, для которых отсутствует смещение логочастоты, описьгеаемое нелинейной логопфиодической формулой. И вновь прогноз сошелся на 15 декабря 1997 года, согласуясь с результатами двух предьщущих методов.

фондот>шрьтокХД1СЯ, мщшя тревога в ощяБре 1999

Следуя той же методологии, фондовыми индексами США и обнар поведение может бьпъ зафиксировано i пузьфя в октябре 1999 года. Мировые рь после выступления Алана Гринспена, а i 1999 года, упал ниже отметки 10,000 рухнул, но очень быстро восстановил (

внимательно следили за несколькими и, что значительное логопфиодическое ; 1999 года, указьгеая на окончание I на самом деле находились в смятении цекс Доу-Джонса, впфвые после 8 апреля и 18 октября 1999 года Однако, рьшок I и юзобновил бычий тренд. Оглядываясь

назад, мы видим, что, как и в октябре 1997 года, это мог бьтть остановленный фах, оказавшийся предвестником того, что произошло в апреле 2000 года, что и бьшо верно нами предсказано.

Статус прямых предсказаний в настоящее время

Только что мы подробно рассмотрели два из трех успешных предсказаний (фах на фондоюм рьшке США в августе 1998 года, антипузьфь на японском фондовом индексе Nikkei в 1999 году и обвал индекса Nasdaq в апреле 2000 года) и два ошибочных предсказания (фах на рьшке в США в декабре 1997 года и падение индекса Nasdaq в октябре 1999 года).

Далее следуют некоторые комментарии

%рнечпая вероятность того, что пузырь яе закдтится iqmM

Мы еще раз подчфкиваем тот факт, что рьшки приблизительно эффективны, и тшвесторы стремятся попользовать арбифажные возможности с целью получения вьподы, приюдит к фундаментальному офаничению идеи о том, что фахи являются случайными событиями. Модель рационального ожидания, описанная в главе 5, объясняет, что лежит в основе подобного поведения. Эта модель говорит о том, что не следует ожидать, что все спекулятивные пузьфи заканчиваются фахами: ключевой проблемой теории является тот факт, что всегда есть некоторая вероятность того, что пузьфь плавно сойдет на нет, минуя фах. Таким образом, согласно этой теории, два ложных предсказания могли относиться как раз к таким случаям плавного окончания пузьфсй. Выборка не слишком большая, но при имеющейся информации, существование этих двух ложных предсказаний, интертфетированных в данном контексте, указывают на то, что общая вероятность фаха, обусловленного наличием пузьфя, приблизительно 3/5 =60%. Таким образом, существует 40% вероятность пережить пузьфь, избежав фаха

Другими словами, два случая того, что пузыри закончились без резкого обвала, полностью соответствует теории рациональных пузырей и фахов, разработанной в [221] и изложенной в главе5. Это также демонсфирует сложность разработки схемы предсказания фахов, основанной на теории фитической точки.

Согласно модели рационального ожидания, критическое время 4 не обязательно указывает на время краха, а лишь является наиболее вероятным моментом, когда этот крах может произойти.

Ои/тщ статштинескдй э\

прямърспрскдэаний

Статистическая достоверность \рулетки крахов

Но давайте теперь проявим консератизм и будем считать, что два ложных предсказания на самом деле были неудачами. Каким образом мы можем оценить статистическую значимость предсказаний? Сформулируем проблему более четко. Для начала разделим время на месячные интервалы и узнаем, какова вероятность того, что крах произойдет в тот или иной Месячный промежуток времени. Пусть будет iV месячных интервалов. Последний Пфиод выборки, на основе которой мы делали анализ, длился с января 1996 года по декабрь 2000 года, что соответствует iV = 60 месяцев. За эти = 60 месяцев произошло Пс = Ъ краха, тогда как iV - = 57 месячных периодов без крахов. За этот пятилетний интервал времени, мы сделали г = 5 предсказаний и Л = 3 из них были успешными, аг-к = 1 - ложными. Какова вероятность того, что наш успех бьш случайным?

Этот вопрос имеет четкий математический ответ, и сводится к хорошо известной проблеме комбинаторики, ведущей к так называемой гипергеометрическому распределению.

Как объясняется в книге В. Феллфа (Feller) [131], эта проблема похожа на такую шру: среди имеющегося количества iV шаров Пс - фасные, а N-itc -чфные. Случайным образом выбирается фуппа из г числа шаров. Какова вероятность того, что выбранная таким образом фуппа будет включать имешю к фасных шаров?

Чтобы продвинуться в решаши этой задачи, нам надо определить количестю С(п,т), которое есть число офеделенных способов выбора т элементов феди п элементов, независимо от порядка выбора элементов т. Комбинаторный фактор С(п,т) имеет простое математическое выражение С(п, т)= п!/т!(п - т)! где т., под назвашем факториал т, офсделяегся как т! = ш X (т- 1) X (т-2) X ...X 3 X 2 X 1. С(п = 52, т= 13) = 635,013,559,600 дает, нафимер, число возможных вариантов сдач фи шре в бридж, а С(п = 52, ш = 5) = 2,598,960 - число возможных сдач фи игре в покф. Теперь мы можем использовать С(п,т), чтобы оценить вфоятность Рк. Если среди г выбранных шаров есть к фасных шаров, то г-к - это число чфных шаров. Таким образом, существует С(Пок) различных вариантов выбора фасных шаров и C(N-nc,r-k) вариантов выбора чфных шаров. Общее число вариантов выбора г шаров из числа N есть C(N,r). с51едовательно, вероятность Рк того, что фуппа из г шаров, выбранных таким образом, будет состоять точно из к фасных шаров есть фоизведение С(По к) х С(М-ПоГ-к) числа способов, соответствующих выбору точно к фасных шаров из г, делешюе на общее число C(N, г) возможных вариантов выбора г шаров (в данном случае мы просто используем, так называемое, частотное офсделение вероятности

(26)

определенного события как соотношения числа состояний, соответствующих данному событию, деленного на общее число собьттий):

р C(n.,k)xC(N-n,r-k) C(N,r)

Р/с является, так называемой, гипфйеомефической функцией. Чтобы оценить статистическую достовфность, Nlbi должны задаться несколько иным вопросом: какова вероятность Рк /того, что феди г шаров есть хотя бы it* фасных шаров? Очевидно, ответ получается путем суммирования Рк по всем юзможным значениям к, начиная с Л* и до максимального значения п: и г. В самом деле, число фасных шшюв не может бьпъ больше г и не может февьштать общее число Пс имеющихся шаров.

В нашем случае, количестю месячных интфвалов iV = 60, число Пс реальных фахов равно числу к вфпых федсказании Пс = к = 3, N-Пс = 57, общее число сделанных федсказании г = 5, а количестю ошибочных федсказании есть г-к = 2.

С(3 3)хС(57 2)

Так как Пс = к, Рк=з = Рыз = ----- = 0.03%: вероягаость того, что

С(60,5)

верные федсказания явились результатом случайного попадания составляет 0.03%, что соответствует очень сильной статистической значимости 99.97%. Отсюда, можно заключить, что даже фи наличии небольшого числа случаев, наши результаты имеют больш}то значимость.

Чтобы понять насколько чувствительна данная оценка удачных и неудачных федсказании, давайте федставим, что вместо к=Ъ фавильно федсказанных фахов, верными были только два из пяти сделанных федсказании. Это соответствует iV=60, Пс =3, N-iic =57, г =5, к =2, а. г-к = Ъ. Вероятность

случайности данных результатов составляет - Pi + Рз-С(3,3)хС(57,2)

С(3,2)хС(57,3)

С(60,5)

= 1.9% + 0.03%; вероятность того, что результаты были

С(60,5)

случайными все еще очень низкая и равна фиблизительно 2%, что соответствует

высокой статистической значимости 98%. Хоть и не столь впечатляюще, но два

верных предсказания против трех ошибочных также характфизуются высокой

степенью статистттческой значимости. Следовательно, можно сделать вьгеод о

надежности наших достижений.

Что произойдет, если в следующем году мы сделаем еще одно

федсказание, которое окажется невфным? В таком случае, достижения будут

иметь следующий вид: N = 2, Пс =3, N-tic =69, г =6, к =3, г-к =3. Вероятность

С(3,3)хС(69,3) ,

случайных результатов тогда Рк =-= 0.033%, что указьгеает на

С (72,6)

незначительное стшжение статистической значимости: фи верных предсказания и фи ошибочных за 72-месячныхй период остаются в высшей степени