огромное множество возможных решений. Многие хаотические системы имеют бесконечное количество решений, заключенных в ограниченной части пространства. Такого рода система тяготеет к определенной области пространства, и это множество возможных решений часто имеет фрактальную размерность. (Это самоподобие в игре хаоса Барнсли в гл. 5 осуществлено совершенно осознанно.)

Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Если переменных две, то одну из них принимаем за X, другую за у и вычерчиваем зависимость в декартовых координатах, т. е. наносим величину одной из них относительно значения другой в один и тот же момент времени. Это называется фазовым портретом системы -он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим.

Для нас важны три основных класса нелинейных систем. Каждый из них имеет свой собственный тип аттрактора (область решений) в фазовом пространстве.

Простейшим типом является точечный аттрактор. Пример системы с точечным аттрактором - маятник, задемпфи-рованный трением. Когда маятнику сообщается первоначальная энергия, он начинает раскачиваться, но ввиду трения амплитуда его колебаний становится все меньше и меньше, пока маятник совсем не остановится. Переменными в такой системе выступают скорость и положение. Если одну или другую из этих переменных вычертить как временной ряд, то результирующая волнистая линия будет постепенно уменьшать свою амплитуду до нуля - кривая становится прямой линией. Маятник останавливается. Это показано на рис. 11.16. Если фазовый портрет этой системы вычертить в координатах положение - скорость, то мы получим спиральную кривую, которая оканчивается в начале координат, когда маятник останавливается (см. рис. 11.1а). Если сообщить маятнику большую Начальную энергию, временной ряд и фазовый портрет системы будут обладать большей начальной амплитудой, но тем

менее временной ряд придет к нулевому значению, а фазо-ьь1й портрет - в начало координат. Можно сказать, что в этом

-о. -0.1 -0.1 0.1 0J 0.S

Рис. 11.1а. Точечный аттрактор. Фазовый портрет.

04 ЛЛ

ал ai о

-0.1 --ОЛ --0J --0.4 -

-0.

фазовом пространстве система притягивается к началу координат. Где бы ни брала свое начало система, она приходит к началу координат - своему равновесному состоянию.

Предположим, что маятник не демпфирован. Сообщим ему толчок такой силы чтобы забросить в ту же исходную точку качания. В соответствии с ньютоновской физикой в данном случае будет иметь место аттрактор маятника, не задемпфи-рованного трением или гравитацией. Временной ряд скорости или положения будет теперь синусоидой, как это показано на рис. 11.2а, а фазовый портрет - замкнутой окружностью (рис. 11.26). Радиус этой окружности будет зависеть от силы толчка , сообщенного маятнику, но окружность останется окружностью. Этот тип аттрактора, называемый предельным циклом, характеризует регулярную периодическую систему, в том числе маятник с притоком энергии извне.

Классическая эконометрика рассматривает экономические системы как системы равновесные (с точечными аттракторами) или как периодически колеблющиеся около точки равновесия (с аттракторами типа предельный цикл). Однако эмпирически такой взгляд не подтверждается. Экономические

11.2а. Аттрактор - предельный цикл. Временной ряд.