ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С ЗАДЕРЖКОЙ

Отображение Хенона может быть представлено как двумерная система в электронной таблице. Отображением, демон-стрирющим другой тип поведения, является так называемое логистическое уравнение с задержкой:

xt = a*X(t i) * (1-a;(t 2)) (11.2)

где Xt - переменная, а - константа.

Логистическое уравнение с задержкой интересно тем, что демонстрирует поведение, именуемое бифуркацией Хопфа, т. е. переходом от точечного аттрактора к предельному циклу. В логистическом уравнении с задержкой текущая величина х зависит от двух предшествующих значений х, в то время как в простом логистическом уравнении она зависит только от одного предшествующего периода.

Выполним построение в электронной таблице, подобно тому, как это было сделано для аттрактора Хенона:

1. В ячейку А1 поместить константу а. Начать с величины 1.50.

2. В ячейки В1 и В2 поместить начальное значение х = 0.10.

3. В ячейку ВЗ поместить следующее уравнение:

$А$1*Я2*(1-Я1).

4. Копировать ячейку ЯЗ вниз на 300 или более строк.

5. В ячейку С1 вставить <i+B2 (величину в В2), с тем, чтобы столбец П гтя.п столбцом В сдвинутым на одно наблюдение. Копировать С1 вниз на то же количество строк, что содержится в столбце В.

6. Построить график, взяв столбец В в качестве х, а столбец С в качестве у. Иметь дело с таким графиком предпочтительнее, чем с символами.

На графике вы увидите спиральную кривую с конечной точкой. Это классический точечный аттрактор. Если увеличивать константу (а) в ячейке А1, то эта спираль будет cTaHO виться все шире и шире. Когда константа (а) превысит критИ ческую величину, равную 2.58, график примет форму овалэ-Теперь аттрактором стал предельный цикл. Переход такого рода называется бифуркацией Хопфа.

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА

отметили, что важной характеристикой хаотических систем является чувствительная зависимость от начальных условий . Существуют два пути рассмотрения этой концепции. В первом случае придается особое значение трудности проблемы. Конструктору модели известны точные уравнения движения, но соответствующая им точность предсказаний за-ьисит от качества входов. И чем дальше мы продвигаемся, м менее точными становятся наши предсказания. Эта клас-ическая проблема моделирования обусловлена природой не-

Чнейных систем, склонной к росту ошибок. Такова вперед отрящая интерпретация чувствительной зависимости от

альных условий.

УПРАВЛЯЮЩИЙ ПАРАМЕТР

Догистическое уравнение с задержкой является важным потому, что оно демонстрирует поведение нелинейной динамической системы в зависимости от управляющего параметра - константы (а). В наших компьютерных экспериментах мы задавали величину управляющего параметра постоянной, пока изучали поведение системы. В физических науках вполне возможно проведение таких управляемых экспериментов. Если управляющий параметр эквивалентен температуре, то температура поддерживается постоянной в процессе лабораторного наблюдения за поведением системы. В экономической теории и инвестиционных финансах мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров и проводить такого рода управляемые эксперименты. Если отношение роста к падению становится накаленным , оно меняет ситуацию на рынке, но мы не можем экспериментировать с другими величинами отношений и при этом наблюдать измененное поведение. Мы можем только изучать исторические данные, относящиеся к периодам, когда управляющий параметр мог меняться ежемоментно. Следовательно, при изучении временных рядов данных в экономической теории и инвестиционных финансах мы должны ясно понимать, что эти данные могут заключать в себе все возможные состояния в смешении: точечные аттракторы, предельные циклы и странные аттракторы.

Второй способ рассмотрения исходит из того, что сама система порождает случайности вследствие разнородности процессов, и по достижении определенной точки память о начальных условиях теряется. Это назад смотрягцая интерпретация - когда мы зависим от местонахождения. Эволюционный процесс, однако, может быть настолько сложным ввиду усиления нелинейностей, что невозможно проследить его по шагам и разделить системную смесь . В качестве метафоры такого рода поведения можно привести конфетный автомат. Он состоит из двух механических рычагов, которые, вращаясь в котле, перемешивают рабочую массу. Предположим что при этом на нее случайным образом падает капля краски. Эта капля будет растягиваться и образовывать складки до тех пор, пока эти борозды будут появляться в конфетной массе. Однако ввиду чувстивительной зависимости от начальных условий мы никогда не сможем вернуть смесь к начальному состоянию, так как не способны восстановить начальную каплю краски.

Таков исторический взгляд на чрезвычайную зависимость от начальных условий. Мы никогда не сможем размотать систему с достаточной точностью, чтобы найти исходную точку.

Эти два подхода могут быть объединены в единое целое. Когда мы зависим от местонахождения, точность наших предсказаний зависит от того, насколько хорошо мы понимаем, где находимся. То или иное событие может неопределенным образом влиять на будущее, при том что система способна помнить это событие только на конечном отрезке времени.

Степень зависимости системы от начальных условий может быть измерена посредством чисе.п. называемых показателями Ляпунова; они являются мерой того, насколько быстро близкие орбиты разбегаются в фазовом пространстве. Существует по одному показателю Ляпунова для каждой размерности фазового пространства.

Положительный показатель Ляпунова измеряет растяжение фазового пространства, т. е. то, насколько быстро расходятся близлежащие точки. Отрицательный показатель Ляпунова измеряет сжатие - то, как долго система восстанавливает себя после испытанного возмущения. Вообразим себе недемпфированный маятник, расположенный на столе и совершающий регулярные качания. Удар по столу выбьет маятник из ритма. Однако, если не будет других возмущений, маятник войдет в свой ритм с новой амплитудой. В фазовоМ