мы намного более ограниченны. Как можно заранее узнать, сколько размерностей надо использовать? Это невозможно. Как можно установить подходящий временной лаг? Непонятно. Мы должны провести эксперименты, зафиксировать данные и восстановить фазовое пространство.

Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему? Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом.

Взглянем на случайный временной ряд как на газ и на коррелированный временной ряд как на твердое тело. Газ, помещенный в замкнутое пространство, растекается до тех пор, пока не заполнит весь объем. Отдельные молекулы в газе не связаны, они свободно перемещаются в пространстве. Положения молекул в твердом теле фиксированны, или скоррели-рованны, занимаемый ими объем не изменяется. Подобным же образом случайный временной ряд заполняет размерность вложения, так как его точки не скоррелированны. Ряд с долговременными корреляциями связан в единое целое подобно твердому те..11у и булет сохранять свою форму независим от того, в пространство какой размерности он будет помещен, поскольку размерность вложения выше размерности ряда.

Поскольку мы восстанавливаем аттрактор в пространстве размерности более высокой, чем истинная размерность аттрактора, проблем с размерностью не возникает.

Подходящий временной лаг также представляет собой относительно простую проблему. Уолф и др. (Wolf et all., 1985) Нашли, что хорошая оценка может быть получена иа соотно-Ндения:

m*t = Q, (12.1)

Де m - размерность вложения, t - временной лаг, Q - значение орбитального периода.

Временной лаг есть отношение значения орбитального периода к размерности вложения, или процент орбиты внутри каждой размерности. Это отношение обеспечивает неизменность орбитального периода в высшей размерности. Например, если период составляет 48 итераций, то в двумерном пространстве было бы использовано 24 итерации с двухточечным лагом, а в трехмерном пространстве - 16 наблюдений с трехточечным лагом. В каждом случае для анализа используется одна 48-месячная орбита, при этом однажды пересекаются все размерности реконструированного пространства.

Следуюгций вопрос: как мы можем узнать значение орбитального периода? Методом нормированного размаха {R/S-анализ) было показано в части 2, как оценить период временного ряда в качестве величины времени, по достижении которого наблюдения становятся некоррелированы. Если значение орбитального периода не обнаруживается легко с помош,ью Л/б-анализа, мы не имеем, по всей вероятности, достаточно данных.

Восстановление фазового пространства становится относительно легким. Важно помнить, однако, что приведенное выше правило есть правило большого пальца , но отнюдь не закон. В экспериментах можно попытаться изменять это правило, наблюдая что происходит. Используя восстановленное фазовое пространство, мы можем вычислить фрактальную размерность и измерить чувствительность зависимости от начальных условий.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Фрактальная размерность фазового пространства мало отличается от фрактальной размерности временного ряда. Временной ряд будет иметь размерность между 1 и 2, поскольку мы имеем дело с единственной переменной. Фазовое пространство включает в себя все переменные системы. Его размерность зависит от сложности изучаемой системы.

Как было установлено в гл. 6, фрактальная размерность дает нам важную информацию относительно изучаемой системы. Целое число, непосредственно следуюгцее за числом фрактальной размерности, говорит о минимальном количестве переменных, необходимых для моделирования динамики системы. Оно задает нижнюю границу возможного количества степеней свободы. Мы также установили, что фракталь-

1оё(1/Л)

где N - количество кругов диаметра Л,

Эта мера используется для фракталов в двумерном пространстве, подобных снежинке Кох. Для высокоразмерного аттрактора необходимо использовать гиперсферы размерностью 3 и выше.

Похожим, но более практичным методом, разработанным Грассбергером и Прокаччей (Grassberger, Procaccia, 1983), является нахождение корреляционной размерности, которая использует корреляционный интеграл Cm{R)- Он представляет собой вероятность того, что две точки на аттракторе лежат в пределах расстояния R одна от другой.

Мы подсчитываем количество пар точек следующим образом. Во-первых, восстанавливаем наш временной ряд как фазовое пространство, начиная с нижней размерности вложения m = 2, как это было показано в предыдущем разделе. Затем, начиная с малого расстояния Л, подсчитываем для него корреляционный интеграл Сш(Л) в соответствии со следующим соотношением:

С(Л) = (1/Лг2) * Z{R-\Xi-Xj\), (12.2)

где Z{x) = 1, если R-\Xi-Xj\ > О, и равно О в противном слу-чяр .V -колттество наблюдений. - расстояние. C i -корреляционный интеграл дпя размерности т. Z{x) называется функцией Хевисайда, так как она равна О, если расстояние между двумя точками Х, и Xj меньше Л, и равна 1, если это расстояние большее. Корреляционный интеграл есть вероятность того, что две точки, выбранные случайным образом, удалены друг от друга меньше, чем на расстояние Л. Если мы увеличиваем Л, то должно увеличиваться со скоростью Л. Это дает следующее соотношение:

Cm - R

log(C) =D* log(Л) -Ь const. (12.3)

ная размерность D может быть аппроксимирована покрытием фрактала кругами и выводом следующей меры:

log TV