Обратите внимание, что существует три функции роста: линейная, экспоненциальная и гиперболическая. То есть гиперболическая функция роста имеет экспоненциальный темп роста, экспоненциальная функция роста имеет линейный темп роста, а линейная функция роста имеет горизонтальную функцию роста.

Здесь важную роль играют оси X и Y. При обсуждении функций роста (В, С или D) ось Y представляет количество, а ось X - время. При обсуждении темпов роста ось Y представляет изменение количества в зависимости от времени, а ось X представляет количество.

Linear Exponential Hyperbolic

Рис. 2.1.

Когда мы говорим о темпах и функциях роста в общем плане, мы часто имеем в виду рост некоторой популяции. Первая из трех основных функций роста - это линейная функция роста (линия В), а ее темп роста - линия А. Члены популяции, характеризующейся линейным ростом, склонны легко находить уровень сосуществования.

Следующей идет экспоненциальная функция роста (линия С) со своим линейным темпом роста (линия В). Члены этой популяции конкурируют между собой, и в действие вступает принцип выживания сильнейшего. При экспоненциальной функции роста возможно возникновение мутации, которая дает селективное преимущество и закрепляется в потомках.

Наконец, в случае функции гиперболического роста (линия D) и ее экспоненциального темпа роста (линия С) си-

туация меняется. В отличие от экспоненциальной функции роста, имеющей линейный темп роста, этот темп роста сам экспоненциальный. То есть, чем больше количество, тем быстрее темп роста! Гиперболическая функция роста, в отличие от экспоненциальной функции, обладает свойством, которое мы называем сингулярностью: в некоторой точке функция становится бесконечно большой вертикальной асимптотой. Этого не происходит с функцией экспоненциального роста, которая просто все увеличивается и увеличивается. При гиперболической функции роста мы также обнаруживаем конкуренцию между членами популяции по принципу выживания сильнейшего. Однако в некоторой точке роста гиперболической популяции селективные преимущества мутаций уже практически не могут закрепляться в следующем поколении из-за очень быстрого увеличения остальной части популяции.

Если при экспоненциальной или гиперболической функциях роста между конкурирующими членами популяции имеются функциональные связи, то это может закончиться любой из следующих альтернатив:

1. Усиленной конкуренцией между партнерами;

2. Взаимным упрочением партнеров;

3. Вымиранием всей популяции.

Поскольку обсуждение математики роста почти невозможно без привлечения понятия популяции, мы будем время от времени обращаться к ней и далее. Математика роста является связующим звеном между ростом популяций и нашей новой методологией.

Рост человеческой популяции

По прошествии первых двух миллионов лет нашей эволюции на Земле было, самое большее, десять миллионов человек. Далее, примерно десять тысяч лет тому назад, в неолите, чело-

веческая популяция начала увеличиваться в возрастающем темпе. Несмотря на приблизительность данных, можно оценить размеры населения Земли за последние две тысячи лет (рис. 2.2):

Оценка величины населения, млрд.

1650 1850 1930 1990

0,25 0,5 1 2

С помощью элементарной экстраполяции легко убедиться, что этим данным удовлетворяет гиперболическая функция роста с сингулярностью. Асимптота, по которой наща популяция взлетит в бесконечность, располагается где-то в середине следующего столетия!

Причина, по которой данная функция является гиперболической, кроется в продолжающемся росте средней продолжительности жизни. Все больще женщин достигают детородного возраста. Это приводит к сокращению времени, необходимого для удвоения популяции, которое и так уже меньще средней продолжительности жизни!

Имейте в виду, что этот график и эти показатели роста популяции получены после таких катастроф, как эпидемия черной смерти * четырнадцатого века, которая истребила почти две трети населения Европы, после двух мировых войн (последняя уничтожила около пятидесяти миллионов человек, из которых двадцать семь миллионов приходится только на одну Россию!) и всего остального, чем природа наказывала нас между делом. То есть даже нечто столь катастрофическое, что стерло бы с лица Земли две трети Европы, сегодня привело бы лишь к небольшому временному сдвигу этой асимптоты вперед.

Прогнозы о будущем популяции разнятся. Согласно наиболее оптимистичному из них, к 2075 году на Земле будет жить от восьми до девяти миллиардов человек. Этот прогноз основы-

* Эпидемия чумы в Европе в 1348-1349 гг. - Прим. пер.

Арргох. pop. in bins.

Asymptote

500 1000 1500 2000

2500

Рис. 2.2. Рост человеческой популяции.

вается на темпах рождаемости и смертности, усредненных по всем континентам. Отчет ООН 1990 г. не столь оптимистичен и называет цифру в 13 миллиардов человек к концу следующего столетия при условии хоть какой-то формы регулирования роста населения в мировом масштабе. В противном случае численность населения Земли может легко достичь четырнадцати миллиардов.

Беда в том, и это наглядно показано на рис. 2.2, что рост популяции является гиперболической функцией, которая очень хорошо аппроксимирует как сами исторические данные, так и их экстраполяцию в будущее.

Поскольку мы физически не можем превратиться в бесконечную популяцию, то чего же нам ждать? Взглянув на рис. 2.2, вы можете обнаружить, что при теперешнем темпе роста численность населения станет превращаться в нашу основную проблему много раньше середины следующего века.

Нетрудно себе представить целый ряд катастрофических сценариев развития ситуации в будущем. Они прекрасно укладываются в два широких сценария, в первом из которых человек поднимается против человека, и мы получаем какой-либо вариант 3-й мировой войны. Не приходится сомневаться, что эта отчетливая возможность способна основательно сократить наши шеренги.

Если сценарий военного противостояния в ближайшее время не реализуется, то это увеличит вероятность другого широкого сценария - противостояния природы и человека, который может осушествиться благодаря всемирному заражению быстро распро-страняюшимися вирусами и стойкими бактериями. Кроме СПИДа суш,ествуют и другие более заразные, но столь же смертельные вирусы, передающиеся воздушно-капельным или другим путем, которые атакуют нас уже сегодня. К ним относятся такие, как вирус Эбола и человеческий парвовирус, угрожающие нам полным уничтожением.

Нельзя исключать, что в отдаленном будущем реализуется другой сценарий полуоптимистического характера. Я называю его сценарием космической станции, с которой в следующем столетии мы начинаем распространяться за пределы нашей планеты, обеспечивая благодаря этому свое выживание как вида. В долгосрочном плане данный сценарий способен обеспечить большую численность популяции, чем это возможно на одной лишь Земле. Но он не предполагает, что проблема перенаселенности Земли будет смягчена. Он просто допускает большую численность популяции в целом.

Описывая эти сценарии, нельзя не заметить их общей доминанты. Так или иначе, но нам придется прибегнуть к политике регулирования численности населения в мировом масштабе, или же она будет навязана нам естественным ходом событий. Только жесткое ограничение прироста численности популяции линейной функцией роста (как это делается в Китайской Народной Республике), оказывающей весьма щадящее воздействие на земные ресурсы, может гарантировать нам длительное мирное существование.

Все контраргументы свидетельствуют лишь о непонимании математических свойств гиперболической функции роста! Это прекрасно иллюстрирует так называемое зеленое движение. Я не подвергаю критике принципы этого движения. В конечном итоге то, к чему призывают зеленые, безусловно, необходимо. Но все это вторично по сравнению с проблемой популяции, которая по самой своей природе растет гиперболически. Если этот рост продолжится, то мы столкнемся с экологической катастрофой из-за истощения озонового слоя, вызванного избытком метана, когда все пересядут на лошадей, либо с разрушительными для эколо-

гии последствиями чрезмерного использования электрической энергии, когда все пересядут на электромобили.

Автомобилист, попавший в дорожный затор, может винить в этом неэффективность современного технократического устройства мира, но автомобильная пробка, узником которой он стал, - это результат роста популяции. Она никуда не денется, неважно, ездим ли мы на современных автомобилях или на конных повозках.

То обстоятельство, что наша популяция генетически склонна к гиперболическому росту, представляет собой самую крупную и первостепенную проблему современности. Поэтому было бы неразумно обсуждать темпы роста в каком-либо ином контексте, не рассмотрев их прежде в связи с ростом популяции.

Но хватит об этом. Вернемся к росту вообще и в торговле, в частности.

Торговля экспоненциальна, а не гиперболична. Впрочем, если некто с практически неограниченными средствами снабжал бы вас деньгами для торговли при условии, что ваша результативность будет не ниже обещанной, то тогда торговля станет гиперболичной. Это похоже на управление капиталом. Основная проблема управляющих капиталом состоит именно в том, чтобы выполнить это условие - обеспечить результативность не ниже обещанной. В последней главе этой книги мы обсудим методы решения этой проблемы.

Минимизация ожидаемого среднего общего роста

До сих пор в этой книге, как и в двух ее предшественницах, мы занимались поиском значения /, которое приводило бы к асимптотическому доминированию. То есть для данной рыночной системы мы искали единственное значение /, которое при реальной независимости между сделками с достоверностью