(1+0Г1)(1 + 1Г2) (1 + 0Г2У

Мы утверждаем, что для предотвращения арбитража форвардная цена должна быть равна

(1 + 1Г2)

Для доказательства предположим, что / > F/{1 + 1Г2). Тогда рассмотрим следующую стратегию: занять (1 -f 01) на один период, использовать часть этой суммы для покупки бескупонной облигации и продать один форвардный контракт. Поскольку цена облигации строго меньше, чем (1 + 01), мы получим положительный платеж сегодня. В периоде 1 мы получим /, поставим пашу облигацию и вернем /, т. е. полностью закроем нашу позицию в периоде 1. При этом у нас останутся ранее полученные деньги, так что мы получили арбитражную прибыль. Если / < F/(l + 1Г2), тогда мы продадим облигацию в короткой позиции, инвестируем полученные деньги и купим форвардный контракт.

Это доказательство устанавливает, что стоимость форвардного контракта равна нулю, поскольку текущая стоимость поступающего потока платежей равна текущей стоимости уходящего потока. Если процентная ставка изменится, то изменятся и стоимость уже заключенных контрактов и форвардная цена на новые контракты.

Доказательство для многолетних контрактов несколько сложнее. Рассмотрим 7-периодпую бескупонпую облигацию и форвардный контракт на поставку этой облигации в периоде 2, так что у поставлетшых облигаций останется (Г - 2) периодов до погашения. Пусть текущая цена облигации равна Р, а /2 - форвардная цена. Мы хотим доказать, что /2 - P(l--oi)(l + i2), т. е. форвардная цена равна стоимости

облигации в периоде 2, паведеппой текущей временной структурой. Это доказательство немного усложняется тем фактом, что если мы будем пытаться придерживаться той же стратегии, что и в однонериодном случае, то нам потребуется занять деньги на два периода под текущую двухпериодную процентную ставку. Нам нужно занять сумму

(1 + 0Г1)(1 + 1Г2)

Если есть возможность занять эту сумму на два периода по наведенной доходности к ногащению, т. е. процентной ставке, удовлетворяющей равенству (1 -- о2) = (1 + oi)(l -- 1Г2), то мы сможем придерживаться той же стратегии, что и рань-ще. Если же такой возможности нет, то появится процентный риск и нам не обязательно удастся закрыть нащу позицию в периоде 2 без дополнительных затрат. Например, если мы займем под сегодня, но столкнемся с изменивщейся процентной ставкой при попытке продлить наш заем завтра, то можем понести потери, если, например, процентная ставка достаточно сильно возрастет.

Чтобы избежать этого, нужно занять на два периода под процент, определяемый сегодняшней временной структурой. Это достигается следующей стратегией: продаем двухпери-одные облигации в таком количестве, чтобы их суммарная номинальная стоимость в периоде 2 была равна /2, и на полученные деньги покупаем Т-нериодную облигацию. В периоде 2 мы поставляем облигацию, получаем /2, платим /2 но двухнериодным облигациям и закрываем нашу позицию. Легко проверить, что если /2 окажется больше, чем следует, то за продажу двухпериодных бескупонных облигаций мы получим больше, чем заплатим за Т-нериодную облигацию.

С другой стороны, мы можем вычислить наведенную процентную ставку при одалживании (у кого-то/кому-то) денег на два периода. Одним из способов одалживания денег па два

периода является покупка двухпериодной бескупопной облигации. Пусть 0Г2 - двухпериодпая процентная ставка при торговле этой облигацией такая, что

(1 + 0Г1)(1 + 1Г2) = (1 + 0Г2).

Другим способом такого займа является покупка Т-период-ной облигации с Т > 2 и заключение на форвардном рынке сегодня контракта на продажу доходов от облигации в третьем и последующем периодах, т. е. контракт на поставку облигации в конце периода 2 по цене /2. Рассмотренное доказательство просто утверждает, что эти два вида займа должны принести одинаковые доходы.

Здесь мы использовали текущие и форвардные рынки для хеджирования процентного риска в периоде 2. Аналогичные рассуждения можно применить при хеджировании процентного риска в более общем виде. Например, вернемся к примеру с дюрацией. Имея обязательство выплатить L в периоде 1, для хеджирования изменений в процентных ставках можно купить сегодня дисконтную облигацию с номинальной стоимостью L. Если же этого сделать нельзя, тогда альтернативой является покупка облигаций с более поздними сроками погашения и их форвардная продажа в момент времени i по известной цепе, опять-таки избегая риска, связанного с изменением процентных ставок.

Конечно, если бы процентные ставки изменились, то изменилась бы и стоимость форвардного контракта. Главным различием между форвардными и фьючерсными контракта- ми (кроме того, что фьючерсные контракты стандартизованы и торгуются на биржах, в то время как форвардные контракты - на внебиржевых рынках) является то, что владелец фьючерсного контракта должен отслеживать на периодической основе (ежедневно либо еженедельно) рыночную стоимость своих фьючерсных позиций. Это означает, что если